二次函數(shù)考點(diǎn)分類(lèi)復(fù)習(xí)
知識(shí)點(diǎn)一:二次函數(shù)的定義☆☆
(考點(diǎn):二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不為0,且二次函數(shù)的表達(dá)式必須為整式)
1、下列函數(shù)中,是二次函數(shù)的是 .
①y=x2-4x+1; ②y=2x2; ③y=2x2+4x; ④y=-3x;
⑤y=-2x-1; ⑥y=mx2+nx+p; ⑦y = EQ\F (4,x) 錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。; ⑧y=-5x。
2、在一定條件下,若物體運(yùn)動(dòng)的路程s(米)與時(shí)間t(秒)的關(guān)系式為s=5t2+2t,則t=4秒時(shí),該物體所經(jīng)過(guò)的路程為 。
3、若函數(shù)y=(m2+2m-7)x2+4x+5是關(guān)于x的二次函數(shù),則m的取值范圍為 。
知識(shí)點(diǎn)二:二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)、最值☆☆☆
(方法:如果解析式為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k,則最值為k;如果解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c則最值為 EQ \F(4ac-b2,4a) )
1.拋物線y=2x2+4x+m2-m經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則m的值為 。
2.拋物y=x2+bx+c線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),則b= ,c= .
3.拋物線y=x2+3x的頂點(diǎn)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知拋物線y=x2+(m-1)x- EQ \F(1,4) 的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,則m的值是_ .
5.若二次函數(shù)y=3x2+mx-3的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1,則m= 。
6.當(dāng)n=______,m=______時(shí),函數(shù)y=(m+n)xn+(m-n)x的圖象是拋物線,且其頂點(diǎn)在原點(diǎn),此拋物線的開(kāi)口________.。
7.已知二次函數(shù)y=x2-4x+m-3的最小值為3,則m= 。
知識(shí)點(diǎn)三:函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)☆☆☆☆
1.拋物線y=x2+4x+9的對(duì)稱(chēng)軸是 。
2.拋物線y=2x2-12x+25的開(kāi)口方向是 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是 。
3.試寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口方向向上,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2,且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)的拋物線的解析式 。
4.通過(guò)配方,寫(xiě)出下列函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo):
(1)y= EQ \F(1,2) x2-2x+1 ; (2)y=-3x2+8x-2; (3)y=- EQ \F(1,4) x2+x-4
知識(shí)點(diǎn)四:函數(shù)y=a(x-h)2的圖象與性質(zhì)☆☆☆
1.填表:
拋物線 |
開(kāi)口方向 |
對(duì)稱(chēng)軸 |
頂點(diǎn)坐標(biāo) |
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2.已知函數(shù)y=2x2,y=2(x-4)2,和y=2(x+1)2。
(1)分別說(shuō)出各個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口方、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。
(2)分析分別通過(guò)怎樣的平移??梢杂蓲佄锞€y=2x2得到拋物線y=2(x-4)2和y=2(x+1)2?
3.試寫(xiě)出拋物線y=3x2經(jīng)過(guò)下列平移后得到的拋物線的解析式并寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。
(1)右移2個(gè)單位;(2)左移 EQ \F(2,3) 個(gè)單位;(3)先左移1個(gè)單位,再右移4個(gè)單位。
4.試說(shuō)明函數(shù)y= EQ \F(1,2) (x-3)2 的圖象特點(diǎn)及性質(zhì)(開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性、最值)。
知識(shí)點(diǎn)五:二次函數(shù)的增減性☆☆☆☆
1.二次函數(shù)y=3x2-6x+5,當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而 ;當(dāng)x<1時(shí),y隨x的增大而 ;當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有最 值是 。
2.已知函數(shù)y=4x2-mx+5,當(dāng)x> -2時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x< -2時(shí),y隨x的增大而減少;則x=1時(shí),y的值為 。
3.已知二次函數(shù)y=x2-(m+1)x+1,當(dāng)x≥1時(shí),y隨x的增大而增大,則m的取值范圍是 .
4.已知二次函數(shù)y=- EQ \F(1,2) x2+3x+ EQ \F(5,2) 的圖象上有三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x1<x2<x3,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為 .
知識(shí)點(diǎn)六:二次函數(shù)的平移☆☆☆
技法:只要兩個(gè)函數(shù)的a 相同,就可以通過(guò)平移重合。將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k,平移規(guī)律:左加右減,對(duì)x;上加下減,直接加減
6.拋物線y= - EQ \F(3,2) x2向左平移3個(gè)單位,再向下平移4個(gè)單位,所得到的拋物線的關(guān)系式為 。
7.拋物線y= 2x2, ,可以得到y(tǒng)=2(x+4}2-3。
8.將拋物線y=x2+1向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,所得到的拋物線的關(guān)系式為 。
知識(shí)點(diǎn)七:函數(shù)的交點(diǎn)☆☆☆☆☆
11.拋物線y=x2+7x+3與直線y=2x+9的交點(diǎn)坐標(biāo)為 。
12.直線y=7x+1與拋物線y=x2+3x+5的圖象有 個(gè)交點(diǎn)。
知識(shí)點(diǎn)八:函數(shù)的的對(duì)稱(chēng)☆☆☆
13.拋物線y=2x2-4x關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線的關(guān)系式為 。
14.拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的拋物線為y=2x2-4x+3,則a= b= c=
知識(shí)點(diǎn)九:函數(shù)的圖象特征與a、b、c的關(guān)系☆☆☆
1.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示,則a、b、c的符號(hào)為( )
A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0
C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0
3. 拋物線y=ax2+bx+c中,b=4a,它的圖象如圖,有以下結(jié)論:其中正確的為( ).
①c>0;②a+b+c>0;③a-b+c>0④b2-4ac<0;⑤abc<0;⑥4a>c;
A.①② B.①④ C.①②⑥ D.①③⑤
4.當(dāng)b<0是一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是( )
知識(shí)點(diǎn)十:二次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)☆☆☆☆☆
1. 如果二次函數(shù)y=x2+4x+c圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn),其中c為整數(shù),則c= (寫(xiě)一個(gè)即可)
2. 二次函數(shù)y=x2-2x-3圖象與x軸交點(diǎn)之間的距離為
3. 拋物線y=-3x2+2x-1的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )
A.沒(méi)有交點(diǎn) B.只有一個(gè)交點(diǎn) C.有兩個(gè)交點(diǎn) D.有三個(gè)交點(diǎn)
4. 若二次函數(shù)y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的圖象全部在x軸的上方,則m 的取值范圍是
知識(shí)點(diǎn)十一:函數(shù)解析式的求法☆☆☆
一、已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí),通常設(shè)解析式為一般式y=ax2+bx+c,然后解三元方程組求解;
1.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(0,3)、B(1,3)、C(-1,1)三點(diǎn),求該二次函數(shù)的解析式。
二、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),或拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)和拋物線上另一點(diǎn)時(shí),通常設(shè)解析式為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k求解。
2.已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-6),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-8),求該二次函數(shù)的解析式。
三、已知拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),通常設(shè)解析式為交點(diǎn)式y=a(x-x1)(x-x2)。
3.二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(3,0),函數(shù)有最小值-8,求該二次函數(shù)的解析式。
反饋:
6.已知x=1時(shí),函數(shù)有最大值5,且圖形經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-3),則該二次函數(shù)的解析式 。
10.若拋物線與x 軸交于(2,0)、(3,0),與y軸交于(0,-4),則該二次函數(shù)的解析式 。
12.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x 軸交于(2,0)、(4,0),頂點(diǎn)到x 軸的距離為3,求函數(shù)的解析式。
17.拋物線y= (k2-2)x2+m-4kx的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2,且它的最低點(diǎn)在直線y= - EQ \F(1,2) x+2上,求函數(shù)解析式。
知識(shí)點(diǎn)十二:二次函數(shù)應(yīng)用☆☆☆☆☆
1.某商店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品,銷(xiāo)售一段時(shí)間后,為了獲得更多的利潤(rùn),商店決定提高銷(xiāo)售價(jià)格。經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn),若按每件20元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí),每月能賣(mài)360件,若按每件25元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí),每月能賣(mài)210件。假定每月銷(xiāo)售件數(shù)y(件)是價(jià)格X的一次函數(shù).
(1)試求y與x的之間的關(guān)系式.
(2)在商品不積壓,且不考慮其他因素的條件下,問(wèn)銷(xiāo)售價(jià)格定為多少時(shí),才能使每月獲得最大利潤(rùn),每月的最大利潤(rùn)是多少?(總利潤(rùn)=總收入-總成本)
2、某商店經(jīng)銷(xiāo)一種銷(xiāo)售成本為每千克40元的水產(chǎn)品,據(jù)市場(chǎng)分析,按每千克50元銷(xiāo)售,一個(gè)月能售出500千克;若銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元,月銷(xiāo)售量就減少10千克.針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷(xiāo)售情況,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為每千克65元時(shí),計(jì)算月銷(xiāo)售量和月銷(xiāo)售利潤(rùn);
(2)銷(xiāo)售單價(jià)定為每千克x元(x>50),月銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元,求y(用含x的代數(shù)式表示)
(3)月銷(xiāo)售利潤(rùn)能達(dá)到10000元嗎?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
3、一家用電器開(kāi)發(fā)公司研制出一種新型電子產(chǎn)品,每件的生產(chǎn)成本為18元,按定價(jià)30元出售,每月可銷(xiāo)售20萬(wàn)件.為了增加銷(xiāo)量,公司決定采取降價(jià)的辦法,每降價(jià)1元,月銷(xiāo)量可增加2萬(wàn)件.銷(xiāo)售期間,要求銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià),且獲利不得高于60%
(1)求出月銷(xiāo)量y(萬(wàn)件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)求出月銷(xiāo)售利潤(rùn)w(萬(wàn)元)(利潤(rùn)=售價(jià)—成本價(jià))與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)請(qǐng)你根據(jù)(2)中的函數(shù)關(guān)系式及其大致圖象幫助公司確定產(chǎn)品銷(xiāo)售單價(jià)的范圍,使月銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于210萬(wàn)元.
反饋與鞏固作業(yè)
二次函數(shù)的定義
1、若函數(shù)y=(m-2)xm -2+5x+1是關(guān)于的二次函數(shù),則m的值為 。
二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)、最值
2.拋物線y=x2+2x-3的對(duì)稱(chēng)軸是 。
3.已知二次函數(shù)y=x2-2ax+2a+3,當(dāng)a= 時(shí),該函數(shù)y的最小值為0.
4.已知二次函數(shù)y=mx2+(m-1)x+m-1有最小值為0,則m= ______
二次函數(shù)的平移、增減性、圖象
5.如果將拋物線y=2x2-1的圖象向右平移3個(gè)單位,所得到的拋物線的關(guān)系式為 。
6.將拋物線y=ax2+bx+c向上平移1個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位,得到y(tǒng)=2x2-4x-1則a= ,b= ,c= .
7.將拋物線y=ax2向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,移動(dòng)后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-1),那么移動(dòng)后的拋物線的關(guān)系式為 _.
8.把拋物線y=-2x2+4x+1沿坐標(biāo)軸先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,問(wèn)所得的拋物線有沒(méi)有最大值,若有,求出該最大值;若沒(méi)有,說(shuō)明理由。
9.已知函數(shù)y=4x2-mx+5,當(dāng)x> -2時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x< -2時(shí),y隨x的增大而減少;則x=1時(shí),y的值為 。
10.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象2如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( )
A.a+b+c> 0 B.b>-2a
C.a-b+c> 0 D.c< 0
二次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)
5. 已知拋物線y=x2-2x-8,
(1)求證:該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,且它的頂點(diǎn)為P,求△ABP的面積。
函數(shù)解析式的求法
2.已知拋物線過(guò)A(1,0)和B(4,0)兩點(diǎn),交y軸于C點(diǎn)且BC=5,求該二次函數(shù)的解析式。
3.已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,0)點(diǎn),求二次函數(shù)的解析式。
4.拋物線y=2x2+bx+c與x 軸交于(2,0)、(-3,0),則該二次函數(shù)的解析式 。
5.若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),且與y=2x2的開(kāi)口大小相同,方向相反,則該二次函數(shù)的解析式 。
6.拋物線y=2x2+bx+c與x 軸交于(-1,0)、(3,0),則b= ,c= .
二次函數(shù)應(yīng)用
1.某商場(chǎng)以每臺(tái)2500元進(jìn)口一批彩電。如每臺(tái)售價(jià)定為2700元,可賣(mài)出400臺(tái),以每100元為一個(gè)價(jià)格單位,若將每臺(tái)提高一個(gè)單位價(jià)格,則會(huì)少賣(mài)出50臺(tái),那么每臺(tái)定價(jià)為多少元即可獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少元?
2.某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)40元一個(gè)的某種商品按50元一個(gè)售出時(shí),每月能賣(mài)出500個(gè).商場(chǎng)想了兩個(gè)方案來(lái)增加利潤(rùn):
方案一:提高價(jià)格,但這種商品每個(gè)售價(jià)漲價(jià)1元,銷(xiāo)售量就減少10個(gè);
方案二:售價(jià)不變,但發(fā)資料做廣告。已知這種商品每月的廣告費(fèi)用m(千元)與銷(xiāo)售量倍數(shù)p關(guān)系為p = ;
試通過(guò)計(jì)算,請(qǐng)你判斷商場(chǎng)為賺得更大的利潤(rùn)應(yīng)選擇哪種方案?請(qǐng)說(shuō)明你判斷的理由
3.有一種螃蟹,從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天,如果放養(yǎng)在塘內(nèi),可以延長(zhǎng)存活時(shí)間,但每天也有一定數(shù)量的蟹死去,假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體重量基本保持不變,現(xiàn)有一經(jīng)銷(xiāo)商,按市場(chǎng)價(jià)收購(gòu)了這種活蟹1000千克放養(yǎng)在塘內(nèi),此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千克30元,據(jù)測(cè)算,以后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升1元,但是放養(yǎng)一天需各種費(fèi)用支出400元,且平均每天還有10千克蟹死去,假定死蟹均于當(dāng)天全部售出,售價(jià)都是每千克20元。
(1)設(shè)X天后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)為P元,寫(xiě)出P關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。
(2)如果放養(yǎng)X天后將活蟹一次性出售,并記1000千克蟹的銷(xiāo)售額為Q元,寫(xiě)出Q關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。
(2)該經(jīng)銷(xiāo)商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售,可獲最大利潤(rùn)(利潤(rùn)=銷(xiāo)售總額—收購(gòu)成本—費(fèi)用),最大利潤(rùn)是多少?