二次函數考點分類復習

知識點一：二次函數的定義☆☆

（考點：二次函數的二次項系數不為0，且二次函數的表達式必須為整式）

1、下列函數中，是二次函數的是                 .

  ①y=x²－4x+1；   ②y=2x²；      ③y=2x²+4x； ④y=－3x；

  ⑤y=－2x－1；   ⑥y=mx²+nx+p；      ⑦y = EQ\F (4,x) 錯誤！未定義書簽。；    ⑧y=－5x。

2、在一定條件下，若物體運動的路程s（米）與時間t（秒）的關系式為s=5t²+2t，則t＝4秒時，該物體所經過的路程為     。

3、若函數y=(m²+2m－7)x²+4x+5是關于x的二次函數，則m的取值范圍為           。

知識點二：二次函數的對稱軸、頂點、最值☆☆☆

（方法：如果解析式為頂點式y=a(x－h)²+k，則最值為k；如果解析式為一般式y=ax²+bx+c則最值為 EQ \F(4ac-b²,4a) ）

1．拋物線y=2x²+4x+m²－m經過坐標原點，則m的值為         。

2．拋物y=x²+bx+c線的頂點坐標為（1，3），則b＝     ，c＝     .

3．拋物線y＝x²＋3x的頂點在(   )

 A.第一象限     B.第二象限    C.第三象限     D.第四象限

4．已知拋物線y＝x²＋(m－1)x－ EQ \F(1,4) 的頂點的橫坐標是2，則m的值是_         .

5．若二次函數y=3x²+mx－3的對稱軸是直線x＝1，則m＝        。

6．當n＝______，m＝______時，函數y＝(m＋n)xⁿ＋(m－n)x的圖象是拋物線，且其頂點在原點，此拋物線的開口________.。

7．已知二次函數y=x²－4x+m－3的最小值為3，則m＝         。

知識點三：函數y=ax²+bx+c的圖象和性質☆☆☆☆

1．拋物線y=x²+4x+9的對稱軸是           。

2．拋物線y=2x²－12x+25的開口方向是       ，頂點坐標是                。

3．試寫出一個開口方向向上，對稱軸為直線x＝－2，且與y軸的交點坐標為（0，3）的拋物線的解析式                。

4．通過配方，寫出下列函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標：

（1）y= EQ \F(1,2) x²－2x+1 ；   （2）y=－3x²+8x－2；    （3）y=－ EQ \F(1,4) x²+x－4

知識點四：函數y=a(x－h)²的圖象與性質☆☆☆

1．填表：

2．已知函數y=2x²,y=2(x－4)²，和y=2(x+1)²。

（1）分別說出各個函數圖象的開口方、對稱軸和頂點坐標。

（2）分析分別通過怎樣的平移?？梢杂蓲佄锞€y=2x²得到拋物線y=2(x－4)²和y=2(x+1)²？

 

 

3．試寫出拋物線y=3x²經過下列平移后得到的拋物線的解析式并寫出對稱軸和頂點坐標。

（1）右移2個單位；（2）左移 EQ \F(2,3) 個單位；（3）先左移1個單位，再右移4個單位。

 

 

4．試說明函數y= EQ \F(1,2) (x－3)² 的圖象特點及性質（開口、對稱軸、頂點坐標、增減性、最值）。

知識點五：二次函數的增減性☆☆☆☆

1.二次函數y=3x²－6x+5，當x>1時，y隨x的增大而          ；當x<1時，y隨x的增大而          ；當x=1時，函數有最      值是         。

2.已知函數y=4x²－mx+5，當x> －2時,y隨x的增大而增大；當x< －2時，y隨x的增大而減少；則x＝1時,y的值為         。

3.已知二次函數y=x²－(m+1)x+1，當x≥1時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是    .

4.已知二次函數y=－ EQ \F(1,2) x²+3x+ EQ \F(5,2) 的圖象上有三點A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)且3<x₁<x₂<x₃，則y₁,y₂,y₃的大小關系為               .

知識點六：二次函數的平移☆☆☆

技法：只要兩個函數的a 相同，就可以通過平移重合。將二次函數一般式化為頂點式y=a(x－h)²+k，平移規律：左加右減，對x；上加下減，直接加減

6.拋物線y= － EQ \F(3,2) x²向左平移3個單位，再向下平移4個單位，所得到的拋物線的關系式為                 。

7.拋物線y= 2x²，              ，可以得到y=2(x+4}²－3。

8.將拋物線y=x²+1向左平移2個單位，再向下平移3個單位，所得到的拋物線的關系式為                     。

知識點七：函數的交點☆☆☆☆☆

11.拋物線y=x²+7x+3與直線y=2x+9的交點坐標為              。

12.直線y=7x+1與拋物線y=x²+3x+5的圖象有       個交點。

知識點八：函數的的對稱☆☆☆

13.拋物線y=2x²－4x關于y軸對稱的拋物線的關系式為                    。

14.拋物線y=ax²+bx+c關于x軸對稱的拋物線為y=2x²－4x+3，則a=         b=         c=            

知識點九：函數的圖象特征與a、b、c的關系☆☆☆

1.已知拋物線y=ax²+bx+c的圖象如右圖所示，則a、b、c的符號為（   ）

    A.a>0,b>0,c>0     B.a>0,b>0,c=0

    C.a>0,b<0,c=0     D.a>0,b<0,c<0

3. 拋物線y=ax²+bx+c中，b=4a，它的圖象如圖，有以下結論：其中正確的為（   ）．

①c＞0；②a+b+c＞0；③a-b+c＞0④b²-4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a＞c；

A.①②   B.①④   C.①②⑥   D.①③⑤

4.當b<0是一次函數y=ax+b與二次函數y=ax²+bx+c在同一坐標系內的圖象可能是（     ）

 

 

 

 

 

知識點十：二次函數與x軸、y軸的交點☆☆☆☆☆

1.   如果二次函數y＝x²＋4x＋c圖象與x軸沒有交點，其中c為整數，則c＝        （寫一個即可）

2.  二次函數y＝x²-2x-3圖象與x軸交點之間的距離為   

3.   拋物線y＝－3x²＋2x－1的圖象與x軸交點的個數是(   )

  A.沒有交點   B.只有一個交點   C.有兩個交點   D.有三個交點

4.   若二次函數y＝(m+5)x²+2(m+1)x+m的圖象全部在x軸的上方，則m 的取值范圍是         

知識點十一：函數解析式的求法☆☆☆

一、已知拋物線上任意三點時，通常設解析式為一般式y=ax²+bx+c，然后解三元方程組求解；

 1．已知二次函數的圖象經過A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三點，求該二次函數的解析式。

 

二、已知拋物線的頂點坐標，或拋物線上縱坐標相同的兩點和拋物線上另一點時，通常設解析式為頂點式y=a(x－h)²+k求解。

 2．已知二次函數的圖象的頂點坐標為（1，－6），且經過點（2，－8），求該二次函數的解析式。

 

三、已知拋物線與軸的交點的坐標時，通常設解析式為交點式y=a(x－x₁)(x－x₂)。

3．二次函數的圖象經過A（－1，0），B（3，0），函數有最小值－8，求該二次函數的解析式。

 

反饋：

6．已知x＝1時，函數有最大值5，且圖形經過點（0，－3），則該二次函數的解析式                     。

10．若拋物線與x 軸交于(2，0)、（3，0），與y軸交于(0，－4)，則該二次函數的解析式                          。

12．已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x 軸交于(2，0)、（4，0），頂點到x 軸的距離為3，求函數的解析式。

17．拋物線y= (k²－2)x²+m－4kx的對稱軸是直線x=2，且它的最低點在直線y= － EQ \F(1,2) x+2上，求函數解析式。

知識點十二：二次函數應用☆☆☆☆☆

1.某商店購進一批單價為16元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高銷售價格。經檢驗發現，若按每件20元的價格銷售時，每月能賣360件,若按每件25元的價格銷售時，每月能賣210件。假定每月銷售件數y(件）是價格X的一次函數.

(1)試求y與x的之間的關系式.

(2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問銷售價格定為多少時，才能使每月獲得最大利潤，每月的最大利潤是多少？（總利潤=總收入－總成本）

 

 

 

 

2、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據市場分析，按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；若銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產品的銷售情況，請回答下列問題：

(1)當銷售單價定為每千克65元時，計算月銷售量和月銷售利潤；

(2)銷售單價定為每千克x元（x＞50），月銷售利潤為y元，求y（用含x的代數式表示）

(3)月銷售利潤能達到10000元嗎？請說明你的理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3、一家用電器開發公司研制出一種新型電子產品，每件的生產成本為18元，按定價30元出售，每月可銷售20萬件．為了增加銷量，公司決定采取降價的辦法，每降價1元，月銷量可增加2萬件．銷售期間，要求銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于60％

(1)求出月銷量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的函數關系式．

(2)求出月銷售利潤w(萬元)(利潤=售價—成本價)與銷售單價x(元)之間的函數關系式．

(3)請你根據(2)中的函數關系式及其大致圖象幫助公司確定產品銷售單價的范圍，使月銷售利潤不低于210萬元．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

反饋與鞏固作業

二次函數的定義

1、若函數y=(m－2)x^{m －2}+5x+1是關于的二次函數，則m的值為            。

二次函數的對稱軸、頂點、最值

2．拋物線y=x²+2x－3的對稱軸是            。

3．已知二次函數y=x²－2ax+2a+3，當a=     時，該函數y的最小值為0.

4．已知二次函數y=mx²+(m－1)x+m－1有最小值為0，則m＝      ______

二次函數的平移、增減性、圖象

5.如果將拋物線y=2x²－1的圖象向右平移3個單位，所得到的拋物線的關系式為                。

6.將拋物線y=ax²+bx+c向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到y=2x²－4x－1則a＝        ，b＝        ，c＝         .

7.將拋物線y＝ax²向右平移2個單位，再向上平移3個單位，移動后的拋物線經過點(3，－1)，那么移動后的拋物線的關系式為                       _.

8．把拋物線y=－2x²+4x+1沿坐標軸先向左平移2個單位，再向上平移3個單位，問所得的拋物線有沒有最大值，若有，求出該最大值；若沒有，說明理由。

9.已知函數y=4x²－mx+5，當x> －2時,y隨x的增大而增大；當x< －2時，y隨x的增大而減少；則x＝1時,y的值為         。

10.已知拋物線y=ax²+bx+c的圖象2如圖所示，則下列結論正確的是（ ）

    A．a+b+c> 0              B．b>-2a

    C．a-b+c> 0              D．c< 0

二次函數與x軸、y軸的交點

5.   已知拋物線y＝x²-2x-8，

（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點；

（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，且它的頂點為P，求△ABP的面積。

 

 

 

 

 

 

函數解析式的求法

2．已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點，交y軸于C點且BC＝5，求該二次函數的解析式。

3．已知二次函數的圖象的頂點坐標為（1，－3），且經過點P（2，0）點，求二次函數的解析式。

4．拋物線y=2x²+bx+c與x 軸交于（2，0）、（－3，0），則該二次函數的解析式                         。

5．若拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標為（1，3），且與y=2x²的開口大小相同，方向相反，則該二次函數的解析式                   。

6．拋物線y=2x²+bx+c與x 軸交于（－1,0）、（3,0），則b＝       ，c＝         .

二次函數應用

1．某商場以每臺2500元進口一批彩電。如每臺售價定為2700元，可賣出400臺，以每100元為一個價格單位，若將每臺提高一個單位價格，則會少賣出50臺，那么每臺定價為多少元即可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2．某商場將進價40元一個的某種商品按50元一個售出時，每月能賣出500個.商場想了兩個方案來增加利潤：

方案一：提高價格，但這種商品每個售價漲價1元，銷售量就減少10個；

方案二：售價不變，但發資料做廣告。已知這種商品每月的廣告費用m(千元)與銷售量倍數p關系為p = ；

試通過計算，請你判斷商場為賺得更大的利潤應選擇哪種方案？請說明你判斷的理由

 

 

 

 

 

 

3．有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養最多只能活兩天，如果放養在塘內，可以延長存活時間，但每天也有一定數量的蟹死去，假設放養期內蟹的個體重量基本保持不變，現有一經銷商，按市場價收購了這種活蟹1000千克放養在塘內，此時市場價為每千克30元，據測算，以后每千克活蟹的市場價每天可上升1元，但是放養一天需各種費用支出400元，且平均每天還有10千克蟹死去，假定死蟹均于當天全部售出，售價都是每千克20元。

（1）設X天后每千克活蟹的市場價為P元，寫出P關于X的函數關系式。

（2）如果放養X天后將活蟹一次性出售，并記1000千克蟹的銷售額為Q元，寫出Q關于X的函數關系式。

（2）該經銷商將這批蟹放養多少天后出售，可獲最大利潤（利潤=銷售總額—收購成本—費用），最大利潤是多少？