電磁感應(yīng)中“單、雙棒”問(wèn)題歸類例析

一、單棒問(wèn)題：

   1.單棒與電阻連接構(gòu)成回路：

例1、如圖所示，MN、PQ是間距為L的平行金屬導(dǎo)軌，置于磁感強(qiáng)度為B、方向垂直導(dǎo)軌所在平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，M、P間接有一阻值為R的電阻．一根與導(dǎo)軌接觸良好、阻值為R／2的金屬導(dǎo)線ab垂直導(dǎo)軌放置

（1）若在外力作用下以速度v向右勻速滑動(dòng)，試求ab兩點(diǎn)間的電勢(shì)差。

（2）若無(wú)外力作用，以初速度v向右滑動(dòng)，試求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的熱量、通過(guò)ab電量以及ab發(fā)生的位移x。

 

 

 

 

2、桿與電容器連接組成回路

例2、如圖所示, 豎直放置的光滑平行金屬導(dǎo)軌, 相距l(xiāng) , 導(dǎo)軌一端接有一個(gè)電容器, 電容量為C, 勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里, 磁感應(yīng)強(qiáng)度為B, 質(zhì)量為m的金屬棒ab可緊貼導(dǎo)軌自由滑動(dòng). 現(xiàn)讓ab由靜止下滑, 不考慮空氣阻力, 也不考慮任何部分的電阻和自感作用. 問(wèn)金屬棒的做什么運(yùn)動(dòng)？棒落地時(shí)的速度為多大？

 

 

 

 

 

 

 

3、桿與電源連接組成回路

例3、如圖所示，長(zhǎng)平行導(dǎo)軌PQ、MN光滑，相距m，處在同一水平面中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.8T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)豎直向下穿過(guò)導(dǎo)軌面．橫跨在導(dǎo)軌上的直導(dǎo)線ab的質(zhì)量m =0.1kg、電阻R =0.8Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．導(dǎo)軌間通過(guò)開(kāi)關(guān)S將電動(dòng)勢(shì)E =1.5V、內(nèi)電阻r =0.2Ω的電池接在M、P兩端，試計(jì)算分析：

（1）在開(kāi)關(guān)S剛閉合的初始時(shí)刻，導(dǎo)線ab的加速度多大？隨后ab的加速度、速度如何變化？

（2）在閉合開(kāi)關(guān)S后，怎樣才能使ab以恒定的速度υ =7.5m/s沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)？試描述這時(shí)電路中的能量轉(zhuǎn)化情況（通過(guò)具體的數(shù)據(jù)計(jì)算說(shuō)明）．

 

 

 

 

 

 

二、雙桿問(wèn)題：

1、雙桿所在軌道寬度相同——常用動(dòng)量守恒求穩(wěn)定速度

例4、兩根足夠長(zhǎng)的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L。導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，如圖所示．兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計(jì)．在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦地滑行．開(kāi)始時(shí)，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v₀．若兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)中始終不接觸，求：

（1）在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少．

（2）當(dāng)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時(shí)，cd棒的加速度是多少？

 

 

 

例5、如圖所示，兩根平行的金屬導(dǎo)軌，固定在同一水平面上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.50T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌所在平面垂直，導(dǎo)軌的電阻很小，可忽略不計(jì)。導(dǎo)軌間的距離l=0.20m。兩根質(zhì)量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，滑動(dòng)過(guò)程中與導(dǎo)軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=0.50Ω。在t=0時(shí)刻，兩桿都處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導(dǎo)軌上滑動(dòng)。經(jīng)過(guò)t=5.0s，金屬桿甲的加速度為a=1.37m/s²，問(wèn)此時(shí)兩金屬桿的速度各為多少？

 

 

 

2、雙桿所在軌道寬度不同——常用動(dòng)量定理找速度關(guān)系

例6、如圖所示，abcd和a^/b^/c^/d^/為水平放置的光滑平行導(dǎo)軌，區(qū)域內(nèi)充滿方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。ab、a^/b^/間的寬度是cd、c^/d^/間寬度的2倍。設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，導(dǎo)體棒ef的質(zhì)量是棒gh的質(zhì)量的2倍?，F(xiàn)給導(dǎo)體棒ef一個(gè)初速度v₀，沿導(dǎo)軌向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩棒的速度穩(wěn)定時(shí)，兩棒的速度分別是多少？

 

 

 

 

 

 

3、磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面不垂直

例7、如圖所示，ab和cd是固定在同一水平面內(nèi)的足夠長(zhǎng)平行金屬導(dǎo)軌，ae和cf是平行的足夠長(zhǎng)傾斜導(dǎo)軌，整個(gè)裝置放在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。在水平導(dǎo)軌上有與導(dǎo)軌垂直的導(dǎo)體棒1，在傾斜導(dǎo)軌上有與導(dǎo)軌垂直且水平的導(dǎo)體棒2，兩棒與導(dǎo)軌間接觸良好，構(gòu)成一個(gè)閉合回路。已知磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌間距為L，傾斜導(dǎo)軌與水平面夾角為θ，導(dǎo)體棒1和2質(zhì)量均為m，電阻均為R。不計(jì)導(dǎo)軌電阻和一切摩擦。現(xiàn)用一水平恒力F作用在棒1上，從靜止開(kāi)始拉動(dòng)棒1，同時(shí)由靜止開(kāi)始釋放棒2，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，兩棒最終勻速運(yùn)動(dòng)。忽略感應(yīng)電流之間的作用，試求：

（1）水平拉力F的大??；

（2）棒1最終勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₁的大小。

 

 

 

 

三、軌道滑模型

例8、如圖所示，abcd為質(zhì)量m的U形導(dǎo)軌，ab與cd平行，放在光滑絕緣的水平面上，另有一根質(zhì)量為m的金屬棒PQ平行bc放在水平導(dǎo)軌上，PQ棒右邊靠著絕緣豎直光滑且固定在絕緣水平面上的立柱e、f,U形導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)以通過(guò)e、f的O₁O₂為界，右側(cè)磁場(chǎng)方向豎直向上，左側(cè)磁場(chǎng)方向水平向左，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B，導(dǎo)軌的bc段長(zhǎng)度為L,金屬棒PQ的電阻R，其余電阻均可不計(jì)，金屬棒PQ與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，在導(dǎo)軌上作用一個(gè)方向向右，大小F==mg的水平拉力，讓U形導(dǎo)軌從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)．求：    

    (1)導(dǎo)軌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度υ_m  

    (2)若導(dǎo)軌從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到達(dá)到最大速度υ_m的過(guò)程中，流過(guò)PQ棒的總電量為q，則系統(tǒng)增加的內(nèi)能為多少?

 

 

 

 

練習(xí)：

1、如右圖所示，一平面框架與水平面成37°角，寬L=0.4 m，上、下兩端各有一個(gè)電阻R₀＝1 Ω，框架的其他部分電阻不計(jì)，框架足夠長(zhǎng).垂直于框平面的方向存在向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝2T.ab為金屬桿，其長(zhǎng)度為L＝0.4 m，質(zhì)量m＝0.8 kg，電阻r＝0.5Ω，棒與框架的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5.由靜止開(kāi)始下滑，直到速度達(dá)到最大的過(guò)程中，上端電阻R₀產(chǎn)生的熱量Q₀＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g取10m／s2)求：

(1)桿ab的最大速度；

(2)從開(kāi)始到速度最大的過(guò)程中ab桿沿斜面下滑的距離；在該過(guò)程中通過(guò)ab的電荷量.

 

 

 

 

2、光滑U型金屬框架寬為L(zhǎng)，足夠長(zhǎng)，其上放一質(zhì)量為m的金屬棒ab，左端連接有一電容為C的電容器，現(xiàn)給棒一個(gè)初速v₀，使棒始終垂直框架并沿框架運(yùn)動(dòng)，如圖所示。求導(dǎo)體棒的最終速度。

 

 

 

 

 

 

 

 

3、如圖所示,兩根間距為l的光滑金屬導(dǎo)軌(不計(jì)電阻),由一段圓弧部分與一段無(wú)限長(zhǎng)的水平段部分組成.其水平段加有豎直向下方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng),其磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,導(dǎo)軌水平段上靜止放置一金屬棒cd,質(zhì)量為2m,電阻為2r.另一質(zhì)量為m,電阻為r的金屬棒ab,從圓弧段M處由靜止釋放下滑至N處進(jìn)入水平段,圓弧段MN半徑為R,所對(duì)圓心角為60°,求：

（1）ab棒在N處進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)速度多大？此時(shí)棒中電流是多少？

（2） cd棒能達(dá)到的最大速度是多大？

（3）ab棒由靜止到達(dá)最大速度過(guò)程中,

系統(tǒng)所能釋放的熱量是多少？

 

 

 

 

 

 

 

4、如圖所示，兩根平行的金屬導(dǎo)軌，固定在同一水平面上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.50T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌所在平面垂直，導(dǎo)軌的電阻很小，可忽略不計(jì)。導(dǎo)軌間的距離l=0.20m。兩根質(zhì)量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，滑動(dòng)過(guò)程中與導(dǎo)軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=0.50Ω。在t=0時(shí)刻，兩桿都處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導(dǎo)軌上滑動(dòng)。經(jīng)過(guò)t=5.0s，金屬桿甲的加速度為a=1.37m/s²，問(wèn)此時(shí)兩金屬桿的速度各為多少？

 

 

 

 

電磁感應(yīng)中“單棒、雙棒”問(wèn)題歸類例析答案

一、單棒問(wèn)題：

   1.單棒與電阻連接構(gòu)成回路：

例1.解析：（1）ab運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E，所以ab相當(dāng)于電源，與外電阻R構(gòu)成回路。

∴U_ab=

（2）若無(wú)外力作用則ab在安培力作用下做減速運(yùn)動(dòng)，最終靜止。動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為電熱。

。由動(dòng)量定理得：即，∴。，∴。

2、桿與電容器連接組成回路

例2 .解析：ab在mg 作用下加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間 t ，速度增為v，a =v / t

產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)    E=Bl v    

電容器帶電量      Q=CE=CBl v，感應(yīng)電流I=Q/t=CBL v/ t=CBl a

產(chǎn)生安培力F=BIl =CB2 l 2a，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律  mg-F=ma

ma= mg - CB² l ²a  ，a= mg / (m+C B² l ²)

∴ab做初速為零的勻加直線運(yùn)動(dòng), 加速度 a= mg / (m+C B² l ²)

落地速度為

 

3、桿與電源連接組成回路

例3．解析（1）在S剛閉合的瞬間，導(dǎo)線ab速度為零，沒(méi)有電磁感應(yīng)現(xiàn)象，由a到b的電流，ab受安培力水平向右，此時(shí)瞬時(shí)加速度 

ab運(yùn)動(dòng)起來(lái)且將發(fā)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象．ab向右運(yùn)動(dòng)的速度為υ時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)右手定則，ab上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)（a端電勢(shì)比b端高）在閉合電路中與電池電動(dòng)勢(shì)相反．電路中的電流（順時(shí)針?lè)较颍?/span>）將減小（小于I₀=1.5A），ab所受的向右的安培力隨之減小，加速度也減小．盡管加速度減小，速度還是在增大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E隨速度的增大而增大，電路中電流進(jìn)一步減小，安培力、加速度也隨之進(jìn)一步減小，當(dāng)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與電池電動(dòng)勢(shì)E相等時(shí)，電路中電流為零，ab所受安培力、加速度也為零，這時(shí)ab的速度達(dá)到最大值，隨后則以最大速度繼續(xù)向右做勻速運(yùn)動(dòng)．

設(shè)最終達(dá)到的最大速度為υ_m，根據(jù)上述分析可知：

所以m/s=3.75m/s．

（2）如果ab以恒定速度m/s向右沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，則ab中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

V=3V

由于＞，這時(shí)閉合電路中電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，大小為?/span>A=1.5A

直導(dǎo)線ab中的電流由b到a，根據(jù)左手定則，磁場(chǎng)對(duì)ab有水平向左的安培力作用，大小為N=0.6N

所以要使ab以恒定速度m/s向右運(yùn)動(dòng)，必須有水平向右的恒力N作用于ab．

上述物理過(guò)程的能量轉(zhuǎn)化情況，可以概括為下列三點(diǎn)：

①作用于ab的恒力（F）的功率：W=4.5W

②電阻（R +r）產(chǎn)生焦耳熱的功率：W=2.25W

③逆時(shí)針?lè)较虻碾娏?/span>，從電池的正極流入，負(fù)極流出，電池處于“充電”狀態(tài)，吸收能量，以化學(xué)能的形式儲(chǔ)存起來(lái)．電池吸收能量的功率：W=2.25W

由上看出，，符合能量轉(zhuǎn)化和守恒定律（沿水平面勻速運(yùn)動(dòng)機(jī)械能不變）．

二、雙桿問(wèn)題：

1、雙桿所在軌道寬度相同——常用動(dòng)量守恒求穩(wěn)定速度

例4．解析：ab棒向cd棒運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩棒和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是產(chǎn)生感應(yīng)電流．ab棒受到與運(yùn)動(dòng)方向相反的安培力作用作減速運(yùn)動(dòng)，cd棒則在安培力作用下作加速運(yùn)動(dòng)．在ab棒的速度大于cd棒的速度時(shí)，回路總有感應(yīng)電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速．兩棒速度達(dá)到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩棒以相同的速度v作勻速運(yùn)動(dòng)．

（1）從初始至兩棒達(dá)到速度相同的過(guò)程中，兩棒總動(dòng)量守恒，有 根據(jù)能量守恒，整個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生的總熱量  

（2）設(shè)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時(shí)，cd棒的速度為v₁，則由動(dòng)量守恒可知：

。此時(shí)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流分別為：，。此時(shí)棒所受的安培力：，所以棒的加速度為  由以上各式，可得 。

例5．解析：設(shè)任一時(shí)刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為v₁和v₂，經(jīng)過(guò)很短的時(shí)間△t，桿甲移動(dòng)距離v₁△t，桿乙移動(dòng)距離v₂△t，回路面積改變

由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

回路中的電流 ，桿甲的運(yùn)動(dòng)方程

由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動(dòng)量時(shí)為0）等于外力F的沖量。聯(lián)立以上各式解得  

，代入數(shù)據(jù)得

2、雙桿所在軌道寬度不同——常用動(dòng)量定理找速度關(guān)系

例6．解析：當(dāng)兩棒的速度穩(wěn)定時(shí)，回路中的感應(yīng)電流為零，設(shè)導(dǎo)體棒ef的速度減小到v₁， 導(dǎo)體棒gh的速度增大到v₂，則有2BLv₁-BLv₂=0，即v₂=2v₁。對(duì)導(dǎo)體棒ef由動(dòng)量定理得： 對(duì)導(dǎo)體棒gh由動(dòng)量定理得：。由以上各式可得：。

3、磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面不垂直

例7．解析（1）1棒勻速：2棒勻速：

解得：

（2）兩棒同時(shí)達(dá)勻速狀態(tài)，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間為t，過(guò)程中平均感應(yīng)電流為，據(jù)動(dòng)量定理，

對(duì)1棒：；對(duì)2棒：

聯(lián)立解得：

勻速運(yùn)動(dòng)后，有：，  解得：

三、軌道滑模型

例8.解析：(1)當(dāng)導(dǎo)軌的加速度為零時(shí)，導(dǎo)軌速度最大為υ_m。導(dǎo)軌在水平方向上受到外力F、水平向左的安培力F₁和滑動(dòng)摩擦力F₂，則

，，即

以PQ棒為研究對(duì)象，PQ靜止，在豎直方向上受重力mg、豎直向上的支持力N和安培力F₃，則，得，將F₁和F₂代入解得

，得

(2)設(shè)導(dǎo)軌從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到達(dá)到最大速度的過(guò)程中，移動(dòng)的距離為S，在這段過(guò)程中，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t,PQ棒中的平均電流強(qiáng)度為I₁，QPbC回路中的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁，則

，得。設(shè)系統(tǒng)增加的內(nèi)能為，由功能關(guān)系得：，則

練習(xí)：

1.解析：該題是一道考察電磁感應(yīng)、安培力、閉合電路歐姆定律及力學(xué)有關(guān)知識(shí)的綜合題，解題的關(guān)鍵是要正確分析金屬桿的運(yùn)動(dòng)及受力的變化情況。

（1） 桿ab達(dá)到平衡時(shí)的速度即為最大速度v，這時(shí)

mgsinθ—F— =0，N=mgcosθ

∴F=mg（sinθ—μcosθ）

總電阻，，，

，得

 

克服磁場(chǎng)力所做的功數(shù)值上等于產(chǎn)生的總電能即

，由動(dòng)能定理：

通過(guò)ab的電荷量 ，代入數(shù)據(jù)得q＝2 C

2.解析：當(dāng)金屬棒ab做切割磁力線運(yùn)動(dòng)時(shí)，要產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當(dāng)ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：

BLv=UC=q/C

而對(duì)導(dǎo)體棒ab利用動(dòng)量定理可得：-BLq=mv-mv₀ 

由上述二式可求得： 

3、解析：(1)ab棒由靜止從M滑下到N的過(guò)程中,只有重力做功,機(jī)械能守恒,所以到N處速度可求,進(jìn)而可求ab棒切割磁感線時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和回路中的感應(yīng)電流.ab棒由M下滑到N過(guò)程中,機(jī)械能守恒,故有

，解得。進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)瞬間,回路中電流強(qiáng)度I為

(2)設(shè)ab棒與cd棒所受安培力的大小為F,安培力作用時(shí)間為 t,ab 棒在安培力作用下做減速運(yùn)動(dòng),cd棒在安培力作用下做加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)兩棒速度達(dá)到相同速度v’時(shí),電路中電流為零,安培力為零,cd達(dá)到最大速度.

運(yùn)用動(dòng)量守恒定律得：

解得

(3)系統(tǒng)釋放熱量應(yīng)等于系統(tǒng)機(jī)械能減少量,故有： 

解得

 

4、解析：設(shè)任一時(shí)刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為v₁和v₂，經(jīng)過(guò)很短的時(shí)間△t，桿甲移動(dòng)距離v₁△t，桿乙移動(dòng)距離v₂△t，回路面積改變

由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

回路中的電流 ，桿甲的運(yùn)動(dòng)方程

由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動(dòng)量時(shí)為0）等于外力F的沖量。聯(lián)立以上各式解得  ，代入數(shù)據(jù)得