電磁感應中“單、雙棒”問題歸類例析
一、單棒問題：
1.單棒與電阻連接構成回路：
例1、如圖所示，MN、PQ是間距為L的平行金屬導軌，置于磁感強度為B、方向垂直導軌所在平面向里的勻強磁場中，M、P間接有一阻值為R的電阻．一根與導軌接觸良好、阻值為R／2的金屬導線ab垂直導軌放置
（1）若在外力作用下以速度v向右勻速滑動，試求ab兩點間的電勢差。
（2）若無外力作用，以初速度v向右滑動，試求運動過程中產生的熱量、通過ab電量以及ab發生的位移x。
2、桿與電容器連接組成回路
例2、如圖所示, 豎直放置的光滑平行金屬導軌, 相距l , 導軌一端接有一個電容器, 電容量為C, 勻強磁場垂直紙面向里, 磁感應強度為B, 質量為m的金屬棒ab可緊貼導軌自由滑動. 現讓ab由靜止下滑, 不考慮空氣阻力, 也不考慮任何部分的電阻和自感作用. 問金屬棒的做什么運動？棒落地時的速度為多大？
3、桿與電源連接組成回路
例3、如圖所示，長平行導軌PQ、MN光滑，相距
m，處在同一水平面中，磁感應強度B=0.8T的勻強磁場豎直向下穿過導軌面．橫跨在導軌上的直導線ab的質量m =0.1kg、電阻R =0.8Ω，導軌電阻不計．導軌間通過開關S將電動勢E =1.5V、內電阻r =0.2Ω的電池接在M、P兩端，試計算分析：
（1）在開關S剛閉合的初始時刻，導線ab的加速度多大？隨后ab的加速度、速度如何變化？
（2）在閉合開關S后，怎樣才能使ab以恒定的速度υ =7.5m/s沿導軌向右運動？試描述這時電路中的能量轉化情況（通過具體的數據計算說明）．
二、雙桿問題：
1、雙桿所在軌道寬度相同——常用動量守恒求穩定速度
例4、兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間的距離為L。導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構成矩形回路，如圖所示．兩根導體棒的質量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計．在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B．設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行．開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若兩導體棒在運動中始終不接觸，求：
（1）在運動中產生的焦耳熱最多是多少．
（2）當ab棒的速度變為初速度的3/4時，cd棒的加速度是多少？
例5、如圖所示，兩根平行的金屬導軌，固定在同一水平面上，磁感應強度B=0.50T的勻強磁場與導軌所在平面垂直，導軌的電阻很小，可忽略不計。導軌間的距離l=0.20m。兩根質量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=0.50Ω。在t=0時刻，兩桿都處于靜止狀態。現有一與導軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導軌上滑動。經過t=5.0s，金屬桿甲的加速度為a=1.37m/s2，問此時兩金屬桿的速度各為多少？
2、雙桿所在軌道寬度不同——常用動量定理找速度關系
例6、如圖所示，abcd和a/b/c/d/為水平放置的光滑平行導軌，區域內充滿方向豎直向上的勻強磁場。ab、a/b/間的寬度是cd、c/d/間寬度的2倍。設導軌足夠長，導體棒ef的質量是棒gh的質量的2倍。現給導體棒ef一個初速度v0，沿導軌向左運動，當兩棒的速度穩定時，兩棒的速度分別是多少？
3、磁場方向與導軌平面不垂直
例7、如圖所示，ab和cd是固定在同一水平面內的足夠長平行金屬導軌，ae和cf是平行的足夠長傾斜導軌，整個裝置放在豎直向上的勻強磁場中。在水平導軌上有與導軌垂直的導體棒1，在傾斜導軌上有與導軌垂直且水平的導體棒2，兩棒與導軌間接觸良好，構成一個閉合回路。已知磁場的磁感應強度為B，導軌間距為L，傾斜導軌與水平面夾角為θ，導體棒1和2質量均為m，電阻均為R。不計導軌電阻和一切摩擦。現用一水平恒力F作用在棒1上，從靜止開始拉動棒1，同時由靜止開始釋放棒2，經過一段時間，兩棒最終勻速運動。忽略感應電流之間的作用，試求：
（1）水平拉力F的大小；
（2）棒1最終勻速運動的速度v1的大小。
三、軌道滑模型
例8、如圖所示，abcd為質量m的U形導軌，ab與cd平行，放在光滑絕緣的水平面上，另有一根質量為m的金屬棒PQ平行bc放在水平導軌上，PQ棒右邊靠著絕緣豎直光滑且固定在絕緣水平面上的立柱e、f,U形導軌處于勻強磁場中，磁場以通過e、f的O1O2為界，右側磁場方向豎直向上，左側磁場方向水平向左，磁感應強度大小都為B，導軌的bc段長度為L,金屬棒PQ的電阻R，其余電阻均可不計，金屬棒PQ與導軌間的動摩擦因數為μ，在導軌上作用一個方向向右，大小F==mg的水平拉力，讓U形導軌從靜止開始運動．設導軌足夠長．求：
(1)導軌在運動過程中的最大速度υm
(2)若導軌從開始運動到達到最大速度υm的過程中，流過PQ棒的總電量為q，則系統增加的內能為多少?
練習：
1、如右圖所示，一平面框架與水平面成37°角，寬L=0.4 m，上、下兩端各有一個電阻R0＝1 Ω，框架的其他部分電阻不計，框架足夠長.垂直于框平面的方向存在向上的勻強磁場，磁感應強度B＝2T.ab為金屬桿，其長度為L＝0.4 m，質量m＝0.8 kg，電阻r＝0.5Ω，棒與框架的動摩擦因數μ＝0.5.由靜止開始下滑，直到速度達到最大的過程中，上端電阻R0產生的熱量Q0＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g取10m／s2)求：
(1)桿ab的最大速度；
(2)從開始到速度最大的過程中ab桿沿斜面下滑的距離；在該過程中通過ab的電荷量.
2、光滑U型金屬框架寬為L，足夠長，其上放一質量為m的金屬棒ab，左端連接有一電容為C的電容器，現給棒一個初速v0，使棒始終垂直框架并沿框架運動，如圖所示。求導體棒的最終速度。
3、如圖所示,兩根間距為l的光滑金屬導軌(不計電阻),由一段圓弧部分與一段無限長的水平段部分組成.其水平段加有豎直向下方向的勻強磁場,其磁感應強度為B,導軌水平段上靜止放置一金屬棒cd,質量為2m,電阻為2r.另一質量為m,電阻為r的金屬棒ab,從圓弧段M處由靜止釋放下滑至N處進入水平段,圓弧段MN半徑為R,所對圓心角為60°,求：
（1）ab棒在N處進入磁場區速度多大？此時棒中電流是多少？
（2） cd棒能達到的最大速度是多大？
（3）ab棒由靜止到達最大速度過程中,
系統所能釋放的熱量是多少？
4、如圖所示，兩根平行的金屬導軌，固定在同一水平面上，磁感應強度B=0.50T的勻強磁場與導軌所在平面垂直，導軌的電阻很小，可忽略不計。導軌間的距離l=0.20m。兩根質量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=0.50Ω。在t=0時刻，兩桿都處于靜止狀態。現有一與導軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導軌上滑動。經過t=5.0s，金屬桿甲的加速度為a=1.37m/s2，問此時兩金屬桿的速度各為多少？
電磁感應中“單棒、雙棒”問題歸類例析答案
一、單棒問題：
1.單棒與電阻連接構成回路：
例1.解析：（1）ab運動切割磁感線產生感應電動勢E，所以ab相當于電源，與外電阻R構成回路。
∴Uab=
（2）若無外力作用則ab在安培力作用下做減速運動，最終靜止。動能全部轉化為電熱。
。由動量定理得：
即
，
∴
。
，∴
。
2、桿與電容器連接組成回路
例2 .解析：ab在mg 作用下加速運動，經時間 t ，速度增為v，a =v / t
產生感應電動勢 E=Bl v
電容器帶電量 Q=CE=CBl v，感應電流I=Q/t=CBL v/ t=CBl a
產生安培力F=BIl =CB2 l 2a，由牛頓運動定律 mg-F=ma
ma= mg - CB2 l 2a ，a= mg / (m+C B2 l 2)
∴ab做初速為零的勻加直線運動, 加速度 a= mg / (m+C B2 l 2)
落地速度為
3、桿與電源連接組成回路
例3．解析（1）在S剛閉合的瞬間，導線ab速度為零，沒有電磁感應現象，由a到b的電流
，ab受安培力水平向右，此時瞬時加速度
ab運動起來且將發生電磁感應現象．ab向右運動的速度為υ時，感應電動勢
，根據右手定則，ab上的感應電動勢（a端電勢比b端高）在閉合電路中與電池電動勢相反．電路中的電流（順時針方向，
）將減小（小于I0=1.5A），ab所受的向右的安培力隨之減小，加速度也減小．盡管加速度減小，速度還是在增大，感應電動勢E隨速度的增大而增大，電路中電流進一步減小，安培力、加速度也隨之進一步減小，當感應電動勢
與電池電動勢E相等時，電路中電流為零，ab所受安培力、加速度也為零，這時ab的速度達到最大值，隨后則以最大速度繼續向右做勻速運動．
設最終達到的最大速度為υm，根據上述分析可知：
所以
m/s=3.75m/s．
（2）如果ab以恒定速度
m/s向右沿導軌運動，則ab中感應電動勢
V=3V
由于
＞
，這時閉合電路中電流方向為逆時針方向，大小為：
A=1.5A
直導線ab中的電流由b到a，根據左手定則，磁場對ab有水平向左的安培力作用，大小為
N=0.6N
所以要使ab以恒定速度
m/s向右運動，必須有水平向右的恒力
N作用于ab．
上述物理過程的能量轉化情況，可以概括為下列三點：
①作用于ab的恒力（F）的功率：
W=4.5W
②電阻（R +r）產生焦耳熱的功率：
W=2.25W
③逆時針方向的電流
，從電池的正極流入，負極流出，電池處于“充電”狀態，吸收能量，以化學能的形式儲存起來．電池吸收能量的功率：
W=2.25W
由上看出，
，符合能量轉化和守恒定律（沿水平面勻速運動機械能不變）．
二、雙桿問題：
1、雙桿所在軌道寬度相同——常用動量守恒求穩定速度
例4．解析：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構成的回路面積變小，磁通量發生變化，于是產生感應電流．ab棒受到與運動方向相反的安培力作用作減速運動，cd棒則在安培力作用下作加速運動．在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應電流，ab棒繼續減速，cd棒繼續加速．兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產生感應電流，兩棒以相同的速度v作勻速運動．
（1）從初始至兩棒達到速度相同的過程中，兩棒總動量守恒，有
根據能量守恒，整個過程中產生的總熱量
（2）設ab棒的速度變為初速度的3/4時，cd棒的速度為v1，則由動量守恒可知：
。此時回路中的感應電動勢和感應電流分別為：
，
。此時
棒所受的安培力：
，所以
棒的加速度為 
由以上各式，可得
。
例5
．解析：設任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為v1和v2，經過很短的時間△t，桿甲移動距離v1△t，桿乙移動距離v2△t，回路面積改變
由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢
回路中的電流 
，桿甲的運動方程
由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動量
時為0）等于外力F的沖量
。聯立以上各式解得
，代入數據得
2、雙桿所在軌道寬度不同——常用動量定理找速度關系
例6
．解析：當兩棒的速度穩定時，回路中的感應電流為零，設導體棒ef的速度減小到v1， 導體棒gh的速度增大到v2，則有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。對導體棒ef由動量定理得：
對導體棒gh由動量定理得：
。由以上各式可得：
。
3、磁場方向與導軌平面不垂直
例7．解析（1）1棒勻速：
2棒勻速：
解得：
（2）兩棒同時達勻速狀態，設經歷時間為t，過程中平均感應電流為
，據動量定理，
對1棒：
；對2棒：
聯立解得：
勻速運動后，有：
，
解得：
三、軌道滑模型
例8.解析：(1)當導軌的加速度為零時，導軌速度最大為υm。導軌在水平方向上受到外力F、水平向左的安培力F1和滑動摩擦力F2，則
，
，即
以PQ棒為研究對象，PQ靜止，在豎直方向上受重力mg、豎直向上的支持力N和安培力F3，則
，得
，將F1和F2代入解得
，得
(2)設導軌從開始運動到達到最大速度的過程中，移動的距離為S，在這段過程中，經過的時間為t,PQ棒中的平均電流強度為I1，QPbC回路中的平均感應電動勢為E1，則
，得
。設系統增加的內能為
，由功能關系得：
，則
練習：
1.解析：該題是一道考察電磁感應、安培力、閉合電路歐姆定律及力學有關知識的綜合題，解題的關鍵是要正確分析金屬桿的運動及受力的變化情況。
（1） 桿ab達到平衡時的速度即為最大速度v，這時
mgsinθ—F—
=0，N=mgcosθ
∴F=mg（sinθ—μcosθ）
總電阻
，
，
，
，得
克服磁場力所做的功數值上等于產生的總電能即
，由動能定理：
通過ab的電荷量 
，代入數據得q＝2 C
2.解析：當金屬棒ab做切割磁力線運動時，要產生感應電動勢，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當ab棒以穩定速度v勻速運動時，有：
BLv=UC=q/C
而對導體棒ab利用動量定理可得：-BLq=mv-mv0
由上述二式可求得： 
3、解析：(1)ab棒由靜止從M滑下到N的過程中,只有重力做功,機械能守恒,所以到N處速度可求,進而可求ab棒切割磁感線時產生的感應電動勢和回路中的感應電流.ab棒由M下滑到N過程中,機械能守恒,故有
，解得
。進入磁場區瞬間,回路中電流強度I為
(2)設ab棒與cd棒所受安培力的大小為F,安培力作用時間為 t,ab 棒在安培力作用下做減速運動,cd棒在安培力作用下做加速運動,當兩棒速度達到相同速度v’時,電路中電流為零,安培力為零,cd達到最大速度.
運用動量守恒定律得：
解得
(3)系統釋放熱量應等于系統機械能減少量,故有：
解得
4、
解析：設任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為v1和v2，經過很短的時間△t，桿甲移動距離v1△t，桿乙移動距離v2△t，回路面積改變
由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢
回路中的電流 
，桿甲的運動方程
由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動量
時為0）等于外力F的沖量
。聯立以上各式解得
，代入數據得
