7.1為什么要證明

學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、了解通過(guò)觀(guān)察、猜測(cè)得到的結(jié)論不一定正確；

2、要判定一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論正確與否，需要進(jìn)行有根有據(jù)的推理.

【重點(diǎn)難點(diǎn)】要判定一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論正確與否，需要進(jìn)行有根有據(jù)的推理.

知識(shí)概覽圖

你能肯定嗎

新課導(dǎo)引

觀(guān)察下圖中的圖形．圖(1)中AB，CD的位置關(guān)系是怎樣的?圖(2)中線(xiàn)段a與b相等嗎?圖(3)中線(xiàn)段d與a，b，c哪一條在同一直線(xiàn)上?

【問(wèn)題探究】  觀(guān)察圖形，圖(1)中AB∥CD，圖(2)中線(xiàn)段a＝b，圖(3)中線(xiàn)段d與a在同一條直線(xiàn)上，那么你知道用什么方法來(lái)檢驗(yàn)對(duì)上述問(wèn)題回答的正確與否呢?

點(diǎn)撥  對(duì)于上面觀(guān)察得到的數(shù)學(xué)結(jié)論可以用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證后加以檢驗(yàn)．

教材精華

知識(shí)點(diǎn)  觀(guān)察和實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論可靠嗎

教材中首先給出了一個(gè)幾何問(wèn)題，經(jīng)過(guò)反復(fù)畫(huà)不同形狀的四邊形，反復(fù)度量，可能會(huì)得出“順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形”的結(jié)論，但是我們的度量準(zhǔn)確嗎?我們所畫(huà)的幾個(gè)四邊形有足夠的代表性嗎?我們的結(jié)論肯定能成立嗎?

教材中給出的第二個(gè)例子是“對(duì)于所有自然數(shù)n，n²-n+11的值都是質(zhì)數(shù)嗎?”這是一個(gè)十分容易得出錯(cuò)誤結(jié)論的問(wèn)題．事實(shí)上，當(dāng)n=0，1，2，…，9，10時(shí)，n²-n+11的值都是質(zhì)數(shù)，而當(dāng)n＝11時(shí)，n²-n+11＝11²變成了合數(shù)．當(dāng)我們依次對(duì)自然數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，若次數(shù)達(dá)不到11，則很可能得出錯(cuò)誤結(jié)論．

教材中給出的第三個(gè)例子是“用一根比地球赤道長(zhǎng)1 m的鐵絲將地球赤道圍起來(lái)，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大?能放進(jìn)一顆紅棗嗎?能放進(jìn)一個(gè)拳頭嗎?”這個(gè)問(wèn)題若憑直覺(jué)去判斷，偌大一個(gè)地球，圍赤道的鐵絲僅比赤道長(zhǎng)1 m，那還剩什么間隙了，但實(shí)際計(jì)算一下，又會(huì)讓人感到意外，鐵絲與地球赤道之間的間隙為(C表示赤道的周長(zhǎng))≈0.16(m)，這樣的間隙不僅可以放進(jìn)一顆紅棗，而且也能放進(jìn)一個(gè)拳頭．

通過(guò)上面幾個(gè)例子，會(huì)使我們產(chǎn)生這樣的認(rèn)識(shí)：通過(guò)觀(guān)察、驗(yàn)證、歸納、猜想所得出的結(jié)論未必是正確的，是值得懷疑的．這樣就引出了一個(gè)問(wèn)題——如何判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的正確與否呢?

拓展  (1)依靠經(jīng)驗(yàn)、觀(guān)察或?qū)嶒?yàn)?zāi)馨l(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論．(2)要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)、觀(guān)察或?qū)嶒?yàn)是不夠的，必須進(jìn)行推理，這也就是證明的必要性．(3)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法：①實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；②舉出反例；③推理．(4)遇到問(wèn)題要大膽猜測(cè)并嘗試用所學(xué)知識(shí)證明結(jié)論．

課堂檢測(cè)

基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題

1、當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，式子n²+n+41的值都是質(zhì)數(shù)嗎?

綜合應(yīng)用題

2、觀(guān)察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程．

驗(yàn)證：2

3

(1)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想4的變形結(jié)果，并進(jìn)行驗(yàn)證；

(2)針對(duì)上述各式所反映的規(guī)律，寫(xiě)出用n(n為任意自然數(shù)，且n≥2)表示的等式，并進(jìn)行驗(yàn)證．

探索創(chuàng)新題

3、如圖6-2所示，線(xiàn)段AM∥DN，直線(xiàn)l與AM， DN分別交于點(diǎn)B，C，直線(xiàn)l繞BC的中點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)(點(diǎn)C由 D點(diǎn)向N點(diǎn)方向移動(dòng))．

(1)線(xiàn)段BC與AD，AB，CD圍成的圖形在初始狀態(tài)下，形狀是△ABD(即△ABC)，請(qǐng)你寫(xiě)出變化過(guò)程中其余的各種特殊四邊形的名稱(chēng)；

(2)任取變化過(guò)程中的兩個(gè)圖形，測(cè)量AB，CD的長(zhǎng)度后，分別計(jì)算每一個(gè)圖形中的AB+CD(結(jié)果精確到1 cm)，比較這兩個(gè)和是否相等，試說(shuō)明理由．

體驗(yàn)中考

1、如圖6-5所示的是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，…，第n(n是正整數(shù))個(gè)圖案中由         個(gè)基礎(chǔ)圖形組成．

2、如圖6—6所示，四邊形ABCD是矩形，E是AB上一點(diǎn)，且DE＝AB，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE，垂足為E．

(1)猜想AD與CF的大小關(guān)系；

(2)請(qǐng)證明猜想的結(jié)論．