幾何概型的分類解析

    幾何概型是一個(gè)重要的概率模型，由幾何概型的概率公式可以知道，確定幾何區(qū)域的測(cè)度是至關(guān)重要的。因此，我們要掌握幾種常見測(cè)度的幾何概型，舉一反三，做到真正地掌握幾何概型的概率求法。下面我們就介紹幾種常見測(cè)度的幾何概型。

一、 長(zhǎng)度型

設(shè)線段是線段L的一部分，向線段L上任投一點(diǎn)，若落在線段上的點(diǎn)數(shù)與線段的

長(zhǎng)度成正比，而與線段在線段L上的相對(duì)位置無(wú)關(guān)，則點(diǎn)落在線段上的概率

例1、某路公共汽車5分鐘一班準(zhǔn)時(shí)到達(dá)某車站，求任一人在該車站等車時(shí)間少于3分

鐘的概率（假定車到來(lái)后每人都能上）。

解：本題符合幾何概型的條件，由幾何概率公式求得，即任一人在該車站等車時(shí)間少于3分鐘的概率為

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是把車到站的一切可能時(shí)刻轉(zhuǎn)化為在內(nèi)任取一點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何概型。

二、 面積型

設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分，向區(qū)域G上任投一點(diǎn)，若落在區(qū)域g上的點(diǎn)數(shù)

與區(qū)域g的面積成正比，而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對(duì)位置無(wú)關(guān)，則點(diǎn)落在區(qū)域g上的概率

例2、已知，，

若向區(qū)域A上隨機(jī)投一粒豆子，求豆子落入?yún)^(qū)域B的概率。

分析：首先要在坐標(biāo)平面內(nèi)將區(qū)域A和區(qū)域B表示出來(lái)，由于涉及的是A和B的面積問(wèn)題，故可通過(guò)幾何知識(shí)進(jìn)行求解。

解：如圖，區(qū)域A是一個(gè)三角區(qū)域，其面積為，區(qū)域B是圖中陰影部分，是一個(gè)矩形，其面積為3，所以豆子落入?yún)^(qū)域B的概率為

三、 體積型

設(shè)空間區(qū)域v是空間區(qū)域V的一部分，向區(qū)域V上任投一點(diǎn)。若落在區(qū)域v上的點(diǎn)數(shù)

與區(qū)域v的體積成正比，而與區(qū)域v在區(qū)域V上的相對(duì)位置無(wú)關(guān)，則點(diǎn)落在區(qū)域v上的概率

例3、正方體中，棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，求使四棱錐M－ABCD的體積小于的概率。

解：記“四棱錐M－ABCD的體積小于”為事件A，則事件A發(fā)生，即，

設(shè)M到面ABCD的距離為h，則，，所以，

所以只要點(diǎn)M到面ABCD的距離小于  所有滿足點(diǎn)M到面ABCD的距離小于的點(diǎn)組成以ABCD為底面，高為的長(zhǎng)方體，其體積為，又正方體的體積為1，所以使四棱錐M－ABCD的體積小于的概率為

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了空間幾何與幾何概型的交匯，求解關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離比。