幾何概型的分類解析

    幾何概型是一個重要的概率模型，由幾何概型的概率公式可以知道，確定幾何區域的測度是至關重要的。因此，我們要掌握幾種常見測度的幾何概型，舉一反三，做到真正地掌握幾何概型的概率求法。下面我們就介紹幾種常見測度的幾何概型。

一、 長度型

設線段是線段L的一部分，向線段L上任投一點，若落在線段上的點數與線段的

長度成正比，而與線段在線段L上的相對位置無關，則點落在線段上的概率

例1、某路公共汽車5分鐘一班準時到達某車站，求任一人在該車站等車時間少于3分

鐘的概率（假定車到來后每人都能上）。

解：本題符合幾何概型的條件，由幾何概率公式求得，即任一人在該車站等車時間少于3分鐘的概率為

點評：解決本題的關鍵是把車到站的一切可能時刻轉化為在內任取一點，從而轉化為測度為長度的幾何概型。

二、 面積型

設平面區域g是平面區域G的一部分，向區域G上任投一點，若落在區域g上的點數

與區域g的面積成正比，而與區域g在區域G上的相對位置無關，則點落在區域g上的概率

例2、已知，，

若向區域A上隨機投一粒豆子，求豆子落入區域B的概率。

分析：首先要在坐標平面內將區域A和區域B表示出來，由于涉及的是A和B的面積問題，故可通過幾何知識進行求解。

解：如圖，區域A是一個三角區域，其面積為，區域B是圖中陰影部分，是一個矩形，其面積為3，所以豆子落入區域B的概率為

三、 體積型

設空間區域v是空間區域V的一部分，向區域V上任投一點。若落在區域v上的點數

與區域v的體積成正比，而與區域v在區域V上的相對位置無關，則點落在區域v上的概率

例3、正方體中，棱長為1，在正方體內隨機取一點M，求使四棱錐M－ABCD的體積小于的概率。

解：記“四棱錐M－ABCD的體積小于”為事件A，則事件A發生，即，

設M到面ABCD的距離為h，則，，所以，

所以只要點M到面ABCD的距離小于  所有滿足點M到面ABCD的距離小于的點組成以ABCD為底面，高為的長方體，其體積為，又正方體的體積為1，所以使四棱錐M－ABCD的體積小于的概率為

點評：本題綜合考查了空間幾何與幾何概型的交匯，求解關鍵是把問題轉化為距離比。