直線與平面垂直的判定
瀏覽次數：次 發布時間：2018-12-06 發布人：董文杰
第一課時 直線與平面垂直的判定
（一）教學目標
1．知識與技能
（1）使學生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理；
（2）使學生掌握直線和平面所成的角求法；
（3）培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納、概括結論.
2．過程與方法
（1）通過教學活動，使學生了解，感受直線和平面垂直的定義的形成過程；
（2）探究判定直線與平面垂直的方法.
3．情態、態度與價值觀
培養學生學會從“感性認識”到“理性認識”過程中獲取新知.
（二）教學重點、難點
重點：（1）直線與平面垂直的定義和判定定理；
（2）直線和平面所成的角.
難點：直線與平面垂直判定定理的探究.
教學過程 教學內容 師生互動 設計意圖
新課導入 問題：直線和平面平行的判定方法有幾種？ 師投影問題，學生回答.
生：可用定義可判斷，也可依判定定理判斷. 復習鞏固
探索新知 一、直線和平面垂直的定義、畫法
如果直線l與平面內的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們惟一的公共點P叫做垂足.
畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表不平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖.
師：日常生活中我們對直線與平面垂直有很多感性認識，如旗桿與地面，橋柱與水面等，你能舉出更多的例子來嗎？
師：在陽光下觀察，直立于地面的旗桿及它在地面的影子，它們的位置關系如何？
生：旗桿與地面內任意一條經B的直線垂直.
師：那么旗桿所在直線與平面內不經過B點的直線位置關系如何，依據是什么？（圖）
生：垂直，依據是異面直線垂直的定義.
師：你能嘗試給線面垂直下定義嗎？
……
師：能否將任意直線改為無數條直線？學生找一反例說明. 培養學生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納概括結論.
探索新知 二、直線和平面垂直的判定
1．試驗 如圖，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.
（1）折痕AD與桌面垂直嗎？
（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？
2．直線與平面垂直的判定定理：
一條直線與一個平面內兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.
思考：能否將直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”改為一條直線或兩條平行直線？ 師：下面請同學們準備一塊三角形的小紙片，我們一起來做一個實驗，（投影問題）.
學生動手實驗，然后回答問題.
生：當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面垂直.
師：此時AD垂直上的一條直線還是兩條直線？
生：AD垂直于桌面兩條直線，而且這兩條直線相交.
師：怎么證明？
生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD
……
師：直線和平面垂直的判定定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想. 培養學生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納概括結論.
典例剖析 例1 如圖，已知a∥b，a⊥，求證：b⊥.
證明：在平面內作兩條相交直線m、n.
因為直線a⊥，根據直線與平面垂直的定義知
a⊥m，a⊥n.
又因為b∥a，
所以b⊥m，b⊥n.
又因為，m、n是兩條相交直線，
b⊥. 師：要證b⊥，需證b與內任意一條直線的垂直，又a∥b，問題轉化為a與面內任意直線m垂直，這個結論顯然成立.
學生依圖及分析寫出證明過程.
……
師：此結論可以直接利用，判定直線和平面垂直. 鞏固所知識培養學生轉化化歸能力、書寫表達能力.
探索新知 二、直線和平面所成的角
如圖，一條直線PA和一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線的平面的交點A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是0°的角. 教師借助多媒體直接講授，注意直線和平面所成的角是分三種情況定義的. 借助多媒體講授，提高上課效率.
典例剖析 例2 如圖，在正方體ABCD – A1B1C1D1中，求A 1B和平面A1B1CD所成的角.
分析：找出直線A1B在平面A1B1CD內的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：連結BC1交B1C于點O，連結A1O.
設正方體的棱長為a，因為A1B1⊥B1C1， A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因為BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.
所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內的射影，∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，
，，
所以，
∠BA1O = 30°
因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°. 師：此題A1是斜足，要求直線A1B與平面A1B1CD所成的角，關鍵在于過B點作出（找到，面A1B1CD的垂線，作出（找到）了面A1B1CD的垂線，直線A1B在平面A1B1CD內的射影就知道了，怎樣過B作平面A1B1CD的垂線呢？
生：連結BC1即可.
師：能證明嗎？
學生分析，教師板書，共同完成求解過程. 點拔關鍵點，突破難點，示范書寫及解題步驟.
隨堂練習 1．如圖，在三棱錐V–ABC中，VA = VC，AB = BC，求證：VB⊥AC.
2．過△ABC所在平面外一點P，作PO⊥，垂足為O，連接PA ，PB，PC.
（1）若PA= PB = PC，∠C =90°，則點O是AB邊的 心.
（2）若PA = PB =PC，則點O是△ABC的 心.
（3）若P A⊥PB，PB⊥PC，PB⊥P A，則點O是△ABC的 . 心.
3．兩條直線和一個平面所成的角相等，這兩條直線一定平行嗎？
4．如圖，直四棱柱A′B′C′D′ – ABCD（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A′C⊥B′D′？
學生獨立完成
答案：
1．略
2．（1）AB邊的中點；（2）點O是△ABC的外心；（3）點O是△ABC的垂心.
3．不一定平行.
4．AC⊥BD. 鞏固所學知識
歸納總結 1．直線和平面垂直的定義判定
2．直線和平面所成的角定義與解答步驟、完善.
3．線線垂直線面垂直 學生歸納總結教師補充 鞏固學習成果，使學生逐步養成愛總結，會總結的習慣和能力.
課后作業 2.7 第一課時 習案 學生獨立完成 強化知識
提升能力
備選例題
例1 如圖，在空間四邊形ABCD中，AB = AD，CB = CD，M為BD中點，作AO⊥MC，交MC于O．求證：AO⊥平面BCD．
【解析】連結AM
∵AB = AD，CB = CD，M為BD中點．
∴BD⊥AM，BD⊥CM．
又AM∩CM = M，∴BD⊥平面ACM．
∵AO 平面ACM，∴BD⊥AO．
又MC⊥AO，BD∩MC = M，∴AO⊥平面貌BCD．
【評析】本題為了證明AO⊥平面BCD，先證明了平面BCD內的直線垂直于AO所在的平面．這一方法具有典型性，即為了證明線與面的垂直，需要轉化為線與線的垂直；為了解決線與線的垂直，又需轉化為另一個線與面的垂直，再化為新的線線垂直．這樣互相轉化，螺旋式往復，最終使問題得到解決．
例2 已知棱長為1的正方體ABCD – A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值．
【解析】取CD的中點F，連接EF交平面ABC1D1于O，連AO．
由已知正方體，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO為所求．
在Rt △EOA中，
，
，
sin∠EAO = ．
所以直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值為．
【評析】求直線和平面所成角的步驟：
（1）作——作出斜線和平面所成的角；
（2）證——證明所作或找到的角就是所求的角；
（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角形）
（4）答．
（一）教學目標
1．知識與技能
（1）使學生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理；
（2）使學生掌握直線和平面所成的角求法；
（3）培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納、概括結論.
2．過程與方法
（1）通過教學活動，使學生了解，感受直線和平面垂直的定義的形成過程；
（2）探究判定直線與平面垂直的方法.
3．情態、態度與價值觀
培養學生學會從“感性認識”到“理性認識”過程中獲取新知.
（二）教學重點、難點
重點：（1）直線與平面垂直的定義和判定定理；
（2）直線和平面所成的角.
難點：直線與平面垂直判定定理的探究.
教學過程 教學內容 師生互動 設計意圖
新課導入 問題：直線和平面平行的判定方法有幾種？ 師投影問題，學生回答.
生：可用定義可判斷，也可依判定定理判斷. 復習鞏固
探索新知 一、直線和平面垂直的定義、畫法
如果直線l與平面內的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們惟一的公共點P叫做垂足.
畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表不平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖.
師：日常生活中我們對直線與平面垂直有很多感性認識，如旗桿與地面，橋柱與水面等，你能舉出更多的例子來嗎？
師：在陽光下觀察，直立于地面的旗桿及它在地面的影子，它們的位置關系如何？
生：旗桿與地面內任意一條經B的直線垂直.
師：那么旗桿所在直線與平面內不經過B點的直線位置關系如何，依據是什么？（圖）
生：垂直，依據是異面直線垂直的定義.
師：你能嘗試給線面垂直下定義嗎？
……
師：能否將任意直線改為無數條直線？學生找一反例說明. 培養學生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納概括結論.
探索新知 二、直線和平面垂直的判定
1．試驗 如圖，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.
（1）折痕AD與桌面垂直嗎？
（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？
2．直線與平面垂直的判定定理：
一條直線與一個平面內兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.
思考：能否將直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”改為一條直線或兩條平行直線？ 師：下面請同學們準備一塊三角形的小紙片，我們一起來做一個實驗，（投影問題）.
學生動手實驗，然后回答問題.
生：當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面垂直.
師：此時AD垂直上的一條直線還是兩條直線？
生：AD垂直于桌面兩條直線，而且這兩條直線相交.
師：怎么證明？
生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD
……
師：直線和平面垂直的判定定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想. 培養學生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納概括結論.
典例剖析 例1 如圖，已知a∥b，a⊥，求證：b⊥.
證明：在平面內作兩條相交直線m、n.
因為直線a⊥，根據直線與平面垂直的定義知
a⊥m，a⊥n.
又因為b∥a，
所以b⊥m，b⊥n.
又因為，m、n是兩條相交直線，
b⊥. 師：要證b⊥，需證b與內任意一條直線的垂直，又a∥b，問題轉化為a與面內任意直線m垂直，這個結論顯然成立.
學生依圖及分析寫出證明過程.
……
師：此結論可以直接利用，判定直線和平面垂直. 鞏固所知識培養學生轉化化歸能力、書寫表達能力.
探索新知 二、直線和平面所成的角
如圖，一條直線PA和一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線的平面的交點A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是0°的角. 教師借助多媒體直接講授，注意直線和平面所成的角是分三種情況定義的. 借助多媒體講授，提高上課效率.
典例剖析 例2 如圖，在正方體ABCD – A1B1C1D1中，求A 1B和平面A1B1CD所成的角.
分析：找出直線A1B在平面A1B1CD內的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：連結BC1交B1C于點O，連結A1O.
設正方體的棱長為a，因為A1B1⊥B1C1， A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因為BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.
所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內的射影，∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，
，，
所以，
∠BA1O = 30°
因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°. 師：此題A1是斜足，要求直線A1B與平面A1B1CD所成的角，關鍵在于過B點作出（找到，面A1B1CD的垂線，作出（找到）了面A1B1CD的垂線，直線A1B在平面A1B1CD內的射影就知道了，怎樣過B作平面A1B1CD的垂線呢？
生：連結BC1即可.
師：能證明嗎？
學生分析，教師板書，共同完成求解過程. 點拔關鍵點，突破難點，示范書寫及解題步驟.
隨堂練習 1．如圖，在三棱錐V–ABC中，VA = VC，AB = BC，求證：VB⊥AC.
2．過△ABC所在平面外一點P，作PO⊥，垂足為O，連接PA ，PB，PC.
（1）若PA= PB = PC，∠C =90°，則點O是AB邊的 心.
（2）若PA = PB =PC，則點O是△ABC的 心.
（3）若P A⊥PB，PB⊥PC，PB⊥P A，則點O是△ABC的 . 心.
3．兩條直線和一個平面所成的角相等，這兩條直線一定平行嗎？
4．如圖，直四棱柱A′B′C′D′ – ABCD（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A′C⊥B′D′？
學生獨立完成
答案：
1．略
2．（1）AB邊的中點；（2）點O是△ABC的外心；（3）點O是△ABC的垂心.
3．不一定平行.
4．AC⊥BD. 鞏固所學知識
歸納總結 1．直線和平面垂直的定義判定
2．直線和平面所成的角定義與解答步驟、完善.
3．線線垂直線面垂直 學生歸納總結教師補充 鞏固學習成果，使學生逐步養成愛總結，會總結的習慣和能力.
課后作業 2.7 第一課時 習案 學生獨立完成 強化知識
提升能力
備選例題
例1 如圖，在空間四邊形ABCD中，AB = AD，CB = CD，M為BD中點，作AO⊥MC，交MC于O．求證：AO⊥平面BCD．
【解析】連結AM
∵AB = AD，CB = CD，M為BD中點．
∴BD⊥AM，BD⊥CM．
又AM∩CM = M，∴BD⊥平面ACM．
∵AO 平面ACM，∴BD⊥AO．
又MC⊥AO，BD∩MC = M，∴AO⊥平面貌BCD．
【評析】本題為了證明AO⊥平面BCD，先證明了平面BCD內的直線垂直于AO所在的平面．這一方法具有典型性，即為了證明線與面的垂直，需要轉化為線與線的垂直；為了解決線與線的垂直，又需轉化為另一個線與面的垂直，再化為新的線線垂直．這樣互相轉化，螺旋式往復，最終使問題得到解決．
例2 已知棱長為1的正方體ABCD – A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值．
【解析】取CD的中點F，連接EF交平面ABC1D1于O，連AO．
由已知正方體，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO為所求．
在Rt △EOA中，
，
，
sin∠EAO = ．
所以直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值為．
【評析】求直線和平面所成角的步驟：
（1）作——作出斜線和平面所成的角；
（2）證——證明所作或找到的角就是所求的角；
（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角形）
（4）答．
