§3.1.1數系的擴充與復數的概念

學習目標 ：理解數系的擴充是與生活密切相關的，明白復數及其相關概念.

重點：復數代數形式的表示方法，理解復數相等．難點：復數代數形式的表示方法，理解復數相等．

學習過程  

一、課前預習（預習教材P₁₀₂~ P₁₀₃，找出疑惑之處）

復習1：實數系、數系的擴充脈絡是：

        →         →        →         ，用集合符號表示為：                     

復習2：判斷下列方程在實數集中的解的個數：

（1）   （2）  （3）   （4）

二、探究新知

探究點一 復數的概念

問題：方程的解是什么？

為了解決此問題，我們定義，把新數添進實數集中去，得到一個新的數集，那么此方程在這個數集中就有解為         .

1. 復數的定義：形如a＋bi (i)的數叫做復數，其中a，b∈______，i叫做__________．a叫做復數的______，b叫做復數的______．表示方法：復數通常用字母____表示，即________．

__________所構成的集合叫做復數集，通常用大寫字母____表示．[來源:Zxxk.Com]

2．復數的分類及包含關系

(1) 復數(a＋bi, )

(2)集合表示：

3．探究點二 兩個復數相等

若兩個復數與的實部與虛部分別    ，即:        ，        .則說這兩個復數相等.

=                 ；=0                 .

注意:兩復數        比較大小.

 三、新知應用

例 1 ：請說出下列復數的實部和虛部，并判斷它們是實數，虛數還是純虛數．

①2＋3i；②－3＋2(1)i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.

例2 ：已知x，y均是實數，且滿足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x與y.

例3：當實數m為何值時，復數z＝m(m2＋m－6)＋(m²－2m)i為(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數．

四、達標訓練

1. 實數取什么數值時，復數是實數（    ）

A．0      B．     C．      D．

2. 如果為實數,那么實數的值為（    ）

A．1或    B．或2       C．1或2     D．或

4. 若是純虛數，則實數的值是              

5. 若，則實數=          ；=            .

五、課后訓練

1. 已知復數z＝a²－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數a，b的值分別是 (  )[來源:Zxxk.Co]

A．，1      B．，5       C．±，5    D．±，1

2. 下列復數中，滿足方程x²＋2＝0的是 (  )

A．±1   B．±i         C．±i   D．±2i

3. 如果z＝m(m＋1)＋(m²－1)i為純虛數，則實數m的值為(  )

A．1   B．0       C．－1      D．－1或1

4. 下列幾個命題：[來源:Zxxk.Com]

①兩個復數相等的一個必要條件是它們的實部相等；

②兩個復數不相等的一個充分條件是它們的虛部不相等；

③1－ai(a∈R)是一個復數；

④虛數的平方不小于0；

⑤－1的平方根只有一個，即為－i；

⑥i是方程x⁴－1＝0的一個根；

⑦i是一個無理數．其中正確命題的為              

5．實數m為何值時，復數z＝m－1(m(m＋2))＋(m²＋2m－3)i是  (1)實數；(2)虛數；(3)純虛數．

6．已知x＋1(x2－x－6)＝(x²－2x－3)i(x∈R)，求x的值