2.3.1平面向量的基本定理

一、學習目標：

1.理解平面向量基本定理．

2．會用任意一組基底表示指定的向量．

3．理解向量夾角的概念．

二、課前導學：

(一)基礎梳理：

1．對于向量的數乘λa，其長度和方向的規定：

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)當____時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向_____；當λ＝0時，λa＝0.

λ>0；相反

 

 

 

 

 

 

(二)預習：

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e₁、e₂是同一平面內的兩個______向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ₁、λ₂，使a＝λ₁e₁＋λ₂e₂.

(2)我們把不共線的向量e₁、e₂叫做表示這一平面內所有向量的一組______

答：不共線; 基底．

 

 

 

 

3、在

△

ABC

中，向量

AB

→

、

BC

→

、

CA

→

，可形成

多少組基底？

（1）非零向量；夾角．（2）[0°，180°]；0°；180°；（3）90°。

 

 

 

 

 

 

 

（三）自測

1．設O是?ABCD的對角線交點，則下列向量組：①與；②與；③與；④與.其中可作為這個平行四邊形所在平面內所有向量的一組基底的是(  )

A．①②           B．①③

C．①④                                  D．③④

解析：選B.與不共線，故①可作為平行四邊形所在平面內所有向量的一組基底；又∥，故②不可以作為基底；與不共線，故③可以；與共線，故④不可以作為基底．

2.

 

如圖所示，已知ABCDEF是正六邊形，且A＝a，A＝b，則B等于(  )

A.eq \f(1,2)(a－b)               B.eq \f(1,2)(b－a)     C．a＋eq \f(1,2)b       D.eq \f(1,2)(a＋b)

解析：選D.連結AD(圖略)，則A＝A＋A＝a＋b，

∴B＝eq \f(1,2)A＝eq \f(1,2)(a＋b)．

3．AD與BE分別為△ABC的邊BC、AC上的中線，且＝a，＝b，則等于(  )

A.eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b                    B.eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3)b       C.eq \f(2,3)a－eq \f(2,3)b     D．－eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b

解析：選B.設AD與BE交點為F，則＝eq \f(2,3)a，＝eq \f(2,3)b，

由＋＋＝0，得＝eq \f(2,3)(a－b)，

所以＝2 ＝2(－)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3)b.

4．平面上兩個不共線的非零向量a與b，若|a＋b|＝|a－b|，則a與b夾角為__________．

解析：以a、b為鄰邊作平行四邊形，|a＋b|、|a－b|表示平行四邊形兩條對角線長相等，故是矩形．

答案：90°

三、合作探究：

探究一、用基底表示向量

平面向量基本定理，其實質在于：同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合．定理說明了只要選定一個平面內的兩個不共線的向量，那么這個平面內的任何向量都可以用這兩個向量表示出來，它體現了事物間的相互轉化，也為我們今后的解題提供了一種方法．

例1

 

【思路分析】 基底已經選定，所以要表示其他向量，只要利用向量的線性運算，即可寫出其線性表達式．

 

本例中，如果把

“

?

ABCD

”

改為

“

等腰梯形

ABCD

，且

DC

1

2

AB

”

，用

a

、

b

如何表示

MC

→

、

MA

→

、

MB

→

？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

探究二、向量夾角的計算

主要是結合圖形，指明向量夾角的位置，利用三角形求其角．

例2、若a≠0，且b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角．

【思路分析】 利用平行四邊形法則作出a－b與a＋b，作出其角度．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

小結： 求向量夾角，必須使兩向量共起點．否則通過平移后求其角．

 *探究三、平面向量基本定理的綜合應用

例3、如圖，已知?ABCD中M為AB的中點，N在BD上，3BN＝BD.

求證：M、N、C三點共線．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

方法技巧

1．用基底表示平面向量，要充分利用向量加、減法的三角形法則或平行四邊形法則，同時結合實數與向量積的定義，解題時要注意解題途徑的優化與組合．如例1

2．應用平面向量基本定理來證明平面幾何問題的一般方法如下：一般先選取一組基底，再根據幾何圖形的特征應用向量的有關知識解題．如例3

失誤防范

1．零向量不能作為基底，兩個非零向量共線時不能作為平面向量的一組基底．只有平面內兩個不共線的向量才可作為基底．

2．平面內不共線的兩個向量可以作為基底，對于同一個向量，用不同基底表示時，實數對并不一定相同．

3．向量的夾角與多邊形內角區分開．如例2

四、課堂小結    

                 

五、課外作業

1、1．下面三種說法中，正確的是(  )

①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；

②一個平面內有無數多對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；

③零向量不可作為基底中的向量．

A．①②                                  B．②③

C．①③                                  D．①②③

解析：選B.由于同一平面內任意一對不共線的向量都可以作為該平面所有向量的基底，故①錯誤，而②③正確，故選B.

2．如果e₁、e₂是平面α內所有向量的一組基底，那么(  )

A．若實數λ₁、λ₂使λ₁e₁＋λ₂e₂＝0，則λ₁＝λ₂＝0

B．空間任一向量a可以表示為a＝λ₁e₁＋λ₂e₂，這里λ₁、λ₂是實數

C．對實數λ₁、λ₂，λ₁e₁＋λ₂e₂不一定在平面α內

D．對平面α中的任一向量a＝λ₁e₁＋λ₂e₂，實數λ₁、λ₂有無數對

解析：選A.平面α內任一向量都可寫成e₁與e₂的線性組合形式，而不是空間內任一向量，故B不正確；C中的向量λ₁e₁＋λ₂e₂一定在平面α內；對平面α中的任一向量a，實數λ₁、λ₂是唯一的．

3．設e₁、e₂是同一平面內的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的為(  )

A．e₁和e₁＋e₂                        B．e₁－2e₂和e₂－2e₁

C．e₁－2e₂和4e₂－2e₁            D．e₁＋e₂和e₁－e₂

解析：選C.∵4e₂－2e₁＝－2(e₁－2e₂)，

∴4e₂－2e₁與e₁－2e₂是共線向量，∴e₁－2e₂和4e₂－2e₁不能作基底．

4．(2010年高考大綱全國卷Ⅱ)△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，則＝(  )

A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b         B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b         C.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b         D.eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b

解析：選B.

 

如圖所示，∠1＝∠2，

∴eq \f(|CB|,|CA|)＝eq \f(|BD|,|DA|)＝eq \f(1,2)，∴＝eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)(－)＝eq \f(1,3)(b－a)，

∴＝＋＝a＋eq \f(1,3)(b－a)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.

5．已知△ABC中，D為AB上一點，若＝2，＝eq \f(1,3)＋λ，則λ＝__________.

解析：＝－，由于＝2， 所以＝eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)(－)．

在△ACD中，  ＝＋＝＋eq \f(2,3)(－)＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)，∴λ＝eq \f(2,3).    答案：eq \f(2,3)

6、已知如圖，在△ABC中，D為BC的中點，E、F為BC的三等分點，若A＝a，A＝b，試分別用a，b表示A，A，A.

解：＝－＝b－a.

A＝A＋B＝A＋eq \f(1,2)B＝a＋eq \f(1,2)(b－a)＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；

A＝A＋B＝A＋eq \f(1,3)B＝a＋eq \f(1,3)(b－a)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b；

A＝A＋B＝A＋eq \f(2,3)B＝a＋eq \f(2,3)(b－a)＝eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b.