2.3.1平面向量的基本定理
一、學習目標：
1.理解平面向量基本定理．
2．會用任意一組基底表示指定的向量．
3．理解向量夾角的概念．
二、課前導學：
(一)基礎(chǔ)梳理：
1．對于向量的數(shù)乘λa，其長度和方向的規(guī)定：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)當____時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向_____；當λ＝0時，λa＝0.
λ>0；相反
(二)預(yù)習：
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個______向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組______
答：不共線; 基底．
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3、在 |
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△ |
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ABC |
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中，向量 |
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AB |
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→ |
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、 |
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BC |
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→ |
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、 |
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CA |
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→ |
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，可形成 |
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多少組基底？ |
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（1）非零向量；夾角．（2）[0°，180°]；0°；180°；（3）90°。
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（三）自測
1．設(shè)O是?ABCD的對角線交點，則下列向量組：①與；②與；③與；④與.其中可作為這個平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：選B.與不共線，故①可作為平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的一組基底；又∥，故②不可以作為基底；與不共線，故③可以；與共線，故④不可以作為基底．
2.
如圖所示，已知ABCDEF是正六邊形，且A＝a，A＝b，則B等于( )
A.eq \f(1,2)(a－b) B.eq \f(1,2)(b－a) C．a＋eq \f(1,2)b D.eq \f(1,2)(a＋b)
解析：選D.連結(jié)AD(圖略)，則A＝A＋A＝a＋b，
∴B＝eq \f(1,2)A＝eq \f(1,2)(a＋b)．
3．AD與BE分別為△ABC的邊BC、AC上的中線，且＝a，＝b，則等于( )
A.eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3)b C.eq \f(2,3)a－eq \f(2,3)b D．－eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b
解析：選B.設(shè)AD與BE交點為F，則＝eq \f(2,3)a，＝eq \f(2,3)b，
由＋＋＝0，得＝eq \f(2,3)(a－b)，
所以＝2 ＝2(－)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3)b.
4．平面上兩個不共線的非零向量a與b，若|a＋b|＝|a－b|，則a與b夾角為__________．
解析：以a、b為鄰邊作平行四邊形，|a＋b|、|a－b|表示平行四邊形兩條對角線長相等，故是矩形．
答案：90°
三、合作探究：
探究一、用基底表示向量
平面向量基本定理，其實質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合．定理說明了只要選定一個平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么這個平面內(nèi)的任何向量都可以用這兩個向量表示出來，它體現(xiàn)了事物間的相互轉(zhuǎn)化，也為我們今后的解題提供了一種方法．
例1
【思路分析】 基底已經(jīng)選定，所以要表示其他向量，只要利用向量的線性運算，即可寫出其線性表達式．
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本例中，如果把 |
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“ |
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? |
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ABCD |
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” |
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改為 |
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“ |
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等腰梯形 |
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ABCD |
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，且 |
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DC |
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1 |
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2 |
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AB |
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” |
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，用 |
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a |
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、 |
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b |
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如何表示 |
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MC |
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→ |
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、 |
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MA |
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→ |
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、 |
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MB |
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→ |
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？ |
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探究二、向量夾角的計算
主要是結(jié)合圖形，指明向量夾角的位置，利用三角形求其角．
例2、若a≠0，且b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角．
【思路分析】 利用平行四邊形法則作出a－b與a＋b，作出其角度．
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小結(jié)： 求向量夾角，必須使兩向量共起點．否則通過平移后求其角．
*探究三、平面向量基本定理的綜合應(yīng)用
例3、如圖，已知?ABCD中M為AB的中點，N在BD上，3BN＝BD.
求證：M、N、C三點共線．
方法技巧
1．用基底表示平面向量，要充分利用向量加、減法的三角形法則或平行四邊形法則，同時結(jié)合實數(shù)與向量積的定義，解題時要注意解題途徑的優(yōu)化與組合．如例1
2．應(yīng)用平面向量基本定理來證明平面幾何問題的一般方法如下：一般先選取一組基底，再根據(jù)幾何圖形的特征應(yīng)用向量的有關(guān)知識解題．如例3
失誤防范
1．零向量不能作為基底，兩個非零向量共線時不能作為平面向量的一組基底．只有平面內(nèi)兩個不共線的向量才可作為基底．
2．平面內(nèi)不共線的兩個向量可以作為基底，對于同一個向量，用不同基底表示時，實數(shù)對并不一定相同．
3．向量的夾角與多邊形內(nèi)角區(qū)分開．如例2
四、課堂小結(jié)
五、課外作業(yè)
1、1．下面三種說法中，正確的是( )
①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；
②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；
③零向量不可作為基底中的向量．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析：選B.由于同一平面內(nèi)任意一對不共線的向量都可以作為該平面所有向量的基底，故①錯誤，而②③正確，故選B.
2．如果e1、e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么( )
A．若實數(shù)λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0
B．空間任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，這里λ1、λ2是實數(shù)
C．對實數(shù)λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內(nèi)
D．對平面α中的任一向量a＝λ1e1＋λ2e2，實數(shù)λ1、λ2有無數(shù)對
解析：選A.平面α內(nèi)任一向量都可寫成e1與e2的線性組合形式，而不是空間內(nèi)任一向量，故B不正確；C中的向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α內(nèi)；對平面α中的任一向量a，實數(shù)λ1、λ2是唯一的．
3．設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的為( )
A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1
C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2
解析：選C.∵4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，
∴4e2－2e1與e1－2e2是共線向量，∴e1－2e2和4e2－2e1不能作基底．
4．(2010年高考大綱全國卷Ⅱ)△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，則＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b D.eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b
解析：選B.
如圖所示，∠1＝∠2，
∴eq \f(|CB|,|CA|)＝eq \f(|BD|,|DA|)＝eq \f(1,2)，∴＝eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)(－)＝eq \f(1,3)(b－a)，
∴＝＋＝a＋eq \f(1,3)(b－a)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
5．已知△ABC中，D為AB上一點，若＝2，＝eq \f(1,3)＋λ，則λ＝__________.
解析：＝－，由于＝2， 所以＝eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)(－)．
在△ACD中， ＝＋＝＋eq \f(2,3)(－)＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)，∴λ＝eq \f(2,3). 答案：eq \f(2,3)
6、已知如圖，在△ABC中，D為BC的中點，E、F為BC的三等分點，若A＝a，A＝b，試分別用a，b表示A，A，A.
解：＝－＝b－a.
A＝A＋B＝A＋eq \f(1,2)B＝a＋eq \f(1,2)(b－a)＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；
A＝A＋B＝A＋eq \f(1,3)B＝a＋eq \f(1,3)(b－a)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b；
A＝A＋B＝A＋eq \f(2,3)B＝a＋eq \f(2,3)(b－a)＝eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b.
