【學習目標】

1．能以兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系.

2．掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并能靈活運用這些公式進行簡單的恒等變換.

【要點梳理】

要點一：兩角和的余弦函數

要點二：兩角和與差的正弦函數

在公式中用代替，就得到：

要點詮釋：

(1)公式中的都是任意角；

(2)和差公式是誘導公式的推廣，誘導公式是和差公式的特例.如

當或中有一個角是的整數倍時，通常使用誘導公式較為方便；

(3)使用公式時，不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡時，不要將和展開，而應采用整體思想，進行如下變形：

要點三：兩角和與差的正切函數

利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角關系式推導.

要點詮釋：

公式成立的條件是：

；

2．重視角的變換

三角變換是三角函數的靈魂與核心，在三角變換中，角的變換是最基本的變換，在歷年的高考試題中多次出現，必須引起足夠的重視．常見的角的變換有：

；；等，常見的三角變換有：切化弦、等．

【合作探究】

探究一：兩角和與差的三角函數公式的正用

例1．已知，，，是第三象限角，求、、的值．

【思路點撥】利用同角三角函數關系式確定、的值，然后利用兩角和與差的余弦、正弦公式求值．

【解析】  由，得

，

又由，為第三象限角得

，

∴．

= =

= =

【總結升華】已知，的某種三角函數值，求的正弦或余弦，先要根據平方關系求出、的另一種三角函數值．求解過程中要注意先根據角的范圍判斷所求三角函數值的符號，然后再將求得的函數值和已知函數值代入和角或差角的余弦公式中，求出和角或差角的余弦．

【變式1】（1）求的值；

（2）已知求的值．

【思路點撥】（1）分析所給的兩個已知角和所求的角之間有關系．（2）．

【解析】（1）

           =

(2),

又

          =

           =

【總結升華】此類題目重在考察所給已知角與所求角之間的運算關系，主要是指看兩角之間的和、差、倍的關系，如，

等，找到它們的關系可以簡化運算，同時在求三角函數值時應關注函數值的符號．

探究二：兩角和與差的三角函數公式的逆用及變形應用

例2．計算下列各式的值：

（1）；  （2）；

（3）．

【思路點撥】注意兩角和差公式的逆用和變形．

【解析】 （1）=

===.

（2）．

（3）∵ 

∴tan17°+tan28°=tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)=1- tan17°tan28°

  ∴原式=1- tan17°tan28°+ tan17°tan28°=1

【總結升華】三角變換的一般規律：看角的關系、看函數名稱、看運算結構．以上題目是給角求值問題，應首先看角的關系：先從所給角的關系入手，觀察所給角的和、差、倍（下一節學習）是否為特殊角，然后看包含的函數名稱，以及所給三角式的結構，結合三角公式，找到題目的突破口．公式的變形應予以靈活運用．

【課外作業】

1．的值等于（ B ）

A．        B．        C．         D．

2． 已知則的值等于 （ B  ）

A．           B．            C．            D．

3．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是（ A   ）

A．1     B．     C．      D． 

4．已知為銳角，且cos=   cos = －,  則cos=_________．

【解析】∵ 為銳角，且，∴ ．

又∵ 、 均為銳角，∴  0＜ ＜π，且，

∴ ．

則

5．求值：

【解析】原式==