§2.1.2  橢圓的簡單幾何性質（2）

【學習目標】

（1）進一步掌握橢圓中的幾何意義，熟記橢圓的簡單幾何性質；

（2）利用軌跡探求法求動點的軌跡．

【重點、難點】

重點：橢圓幾何性質的應用；難點：橢圓中相關三角形的關系．

 一、【知識鏈接】

（1）分別求下列橢圓方程的長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標并畫出其圖像

①                         ②

（2）求適合下列條件的橢圓的標準方程

（1）經過點，；      （2）長軸長等到于，離心率等于．

例1、P為橢圓上一點，是兩個焦點，，求橢圓的離心率.

變式1、若橢圓的一個焦點與長軸兩個端點的距離之比為2：3，求橢圓的離心率

變式2、若橢圓的兩個焦點與它的短軸的兩個端點是一個正方形的四個頂點，求此橢圓的離心率

                            探究一、利用橢圓幾何性質求橢圓方程

【例1】 已知橢圓的中心為直角坐標系的原點，焦點在上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1，求橢圓的方程  (提示：畫出橢圓圖像分析題意)

【例2】以橢圓短軸的一個端點和兩個焦點為頂點的三角形是正三角形，且橢圓上的點到其中一個焦點的最短距離為，求橢圓的標準方程（提示：數形結合）

 探究二、橢圓中焦點三角形相關問題

【例1】橢圓上一點P與橢圓兩焦點F₁, F₂的連線的夾角為直角，則的面積為           ．（橢圓定義結合勾股定理）

變式. 為 上的一點，則為直角的點有        個．

（提示：直徑所對圓周角為直角）

小結1、兩焦點與橢圓上一點構成的三角形，簡稱焦點三角形（不妨設焦點三角形為）

(1)若最大，則點P位置為                 ；[來源:學|科|網Z|X|X|K]

(2)=90⁰                             

  >90⁰                             

  <90⁰                             

三、【基礎達標】

1．與橢圓有相同的焦點，且離心率為的橢圓的標準方程為_____________．

2．與橢圓有相同離心率且經過點的橢圓方程為               

3. 中心在原點，焦點在軸上，經過點，離心率為的橢圓方程為           

4. 若橢圓的離心率，則實數等于                 

5.橢圓的長軸為A₁A₂，B為短軸的一個端點，若∠，則橢圓的離心率為（    ）

A．  B．     C．   D．

6.已知是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若是正三角形，則這個橢圓的離心率是（     ）

A．    B．     C．    D．

7．已知、是橢圓（＞＞0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為，則=____________．

8．已知點是橢圓上的一點，且以點及焦點、為頂點的三角形面積為，則點的坐標                 

四、【課堂歸納、小結、反思】