1.1.2   余弦定理（一）

【學習目標】

1. 知識與技能：

了解余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.

2. 過程與方法：

讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究余弦定理的內容及其證明方法.

3. 情感、態度與價值觀：

培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思想能力

【重點、難點】

重點：推導余弦定理并用它解決有關問題.

難點：余弦定理的應用.

【教學方式】先學后教

【教材梳理，預習指南】

一．問題引入

                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

思考1：用剛學的正弦定理能否直接求出圖中AC？

 

二．新課導學

（一）余弦定理的推導

1． 如圖在中，、、的長分別為、、.

 ∵，

∴

.即，

2.同理，試證：，.

=__________________________________

 =___________________________________ =________________________________

____________________=___________________________________

=___________________________________ =________________________________

 

（二）余弦定理的內容

1.余弦定理

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的______________________________________.

   即____________________________________________

    ____________________________________________

____________________________________________

2.推論

思考2：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系，應用余弦定理我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？

從余弦定理，可以得到它的推論：

         _______________________________________

         _______________________________________

         _______________________________________

3.余弦定理與勾股定理的關系

思考3：若cosA=0,則A為______角，此三角形是_________ 三角形；

  若cosA>0, 則A為______角，若B與C也是銳角，則此三角形是_________ 三角形；

  若 cosA<0, 則A為______角，此三角形是_________ 三角形；

  由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.

4.例題分析

例1：在ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）.

解：根據余弦定理，

______________________________________（代公式）

  =__________________________________________（代入數據）=_____________.

所以a41(cm).

由正弦定理得，得

sinC=__________________(公式)=____________________（代入數據）__________（答案）

例2：請解決問題引入中的“千島湖”中的問題.

 

 

 

 

 

 

三．練習與鞏固

1. 在ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到0.1°，邊長精確到0.1cm）：

（1）a=2.7cm,b=3.6cm,C=82.2°;

(2)b=12.9cm,c=15.4cm,A=42.3°.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.在ABC中，已知，，，解三角形.

 

 

 

 

 

3.在△ABC中，a＝5，b＝6，c＝8，△ABC的形狀是（    ）

A. 銳角三角形   B. 直角三角形  C. 鈍角三角形   D. 都有可能

 

 

 

 

4.已知△ABC的三邊為  、2、1，求它的最大內角。

 

 

 

 

 

 

【課后檢測】

1. 在三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.下列等式不成立的是（    ）

A.     B. 

 C.    D. 

 

2.在△ABC中，已知a=,b=2,c= , 解三角形.

     

 

 

 

 

 

 

3．在△ABC中，若a＝3，b＝4，， 則這個三角形中最大角為           .