數列的求和

 

考點一 公式法求和

1.(2016·新課標全國Ⅰ)已知{a_n}是公差為3的等差數列，數列{b_n}滿足b₁＝1，b₂＝3(1)，a_nb_n＋1＋b_n＋1＝nb_n.

(1)求{a_n}的通項公式；

(2)求{b_n}的前n項和.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.(2013·新課標全國Ⅱ，17)已知等差數列{a_n}的公差不為零，a₁＝25，且a₁，a₁₁，a₁₃成等比數列.

(1)求{a_n}的通項公式；

(2)求a₁＋a₄＋a₇＋…＋a_3n－2.

 

 

 

 

 

 

變式訓練

1.(2015·四川，16)設數列{a_n}(n＝1，2，3，…)的前n項和S_n滿足S_n＝2a_n－a₁，且a₁，a₂＋1，a₃成等差數列.

  (1)求數列{a_n}的通項公式；

  (2)設數列an(1)的前n項和為T_n，求T_n.

 

 

 

 

 

 

 

2.(2014·福建，17)在等比數列{a_n}中，a₂＝3，a₅＝81.

(1)求a_n；

(2)設b_n＝log₃a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n.

 

 

 

 

 

 

 

考點六 并項求和

1.(2012·新課標，16)數列{a_n}滿足a_n＋1＋(－1)ⁿa_n＝2n－1，則{a_n}的前60項和為________.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.(2013·湖南，15)設S_n為數列{a_n}的前n項和，S_n＝(－1)ⁿa_n－2n(1)，n∈N^*，則：

(1)a₃＝________；

(2)S₁＋S₂＋…＋S₁₀₀＝________.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

考點三 分組求和法

1.(2015·福建，17)在等差數列{a_n}中，a₂＝4，a₄＋a₇＝15.

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)設b_n＝＋n，求b₁＋b₂＋b₃＋…＋b₁₀的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.(2014·湖南，16)已知數列{a_n}的前n項和S_n＝2(n2＋n)，n∈N^*.

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)設b_n＝＋(－1)ⁿa_n，求數列{b_n}的前2n項和.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

變式訓練

1.(2014·北京，15)已知{a_n}是等差數列，滿足a₁＝3，a₄＝12，數列{b_n}滿足b₁＝4，b₄＝20，且{b_n－a_n}為等比數列.

(1)求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；

(2)求數列{b_n}的前n項和.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

考點四 裂項相消法

1.(2015·新課標全國Ⅰ，17)S_n為數列{a_n}的前n項和．已知a_n>0，an(2)＋2a_n＝4S_n＋3.

(1)求{a_n}的通項公式；

(2)設b_n＝anan＋1(1)，求數列{b_n}的前n項和．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.(2011·新課標全國，17)等比數列{a_n}的各項均為正數，且2a₁＋3a₂＝1，a3(2)＝9a₂a₆.

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)設b_n＝log₃a₁＋log₃a₂＋…＋log₃a_n，求數列bn(1)的前n項和．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.(2015·安徽，18)已知數列{a_n}是遞增的等比數列，且a₁＋a₄＝9，a₂a₃＝8.

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)設S_n為數列{a_n}的前n項和，b_n＝SnSn＋1(an＋1)，求數列{b_n}的前n項和T_n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

變式訓練

1.(2013·江西，16)正項數列{a_n}滿足：an(2)－(2n－1)a_n－2n＝0.

(1)求數列{a_n}的通項公式a_n；

(2)令b_n＝（n＋1）an(1)，求數列{b_n}的前n項和T_n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.(2013·大綱全國，17)等差數列{a_n}中，a₇＝4，a₁₉＝2a₉.

(1)求{a_n}的通項公式；

(2)設b_n＝nan(1)，求數列{b_n}的前n項和S_n.

 

 

 

 

 

 

 

 

3.在數列{a_n}中，a₁＝1，當n≥2時，其前n項和S_n滿足Sn(2)＝a_n2(1).

(1)求S_n的表達式；

(2)設b_n＝2n＋1(Sn)，求{b_n}的前n項和T_n.

 

 

 

 

[例5]  求數列的前n項和.

 

 

 

 

 

 

 

 

考點五 倒序相加法

已知函數f(x)＝4x＋2(1)(x∈R)．(1)證明：f(x)＋f(1－x)＝2(1)；(2)若S＝f(2 015(1))＋f(2 015(2))＋…＋f(2 015(2 014))，則S＝________.

 

 

 

 

 

變式訓練

1.設f(x)＝4x＋2(4x)，若S＝f(2 015(1))＋f(2 015(2))＋…＋f(2 015(2 014))，則S＝________.

 

 

 

 

 

考點二 錯位相減法

1.(山東)已知數列 的前n項和S_n=3n²+8n，是等差數列，且 

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）令 求數列的前n項和T_n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.(2015·天津，18)已知數列{a_n}滿足a_n＋2＝qa_n(q為實數，且q≠1)，n∈N^*，a₁＝1，a₂＝2，且a₂＋a₃，a₃＋a₄，a₄＋a₅成等差數列.

(1)求q的值和{a_n}的通項公式；

(2)設b_n＝a2n－1(log2a2n)，n∈N^*，求數列{b_n}的前n項和.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

變式訓練

1.(2014·江西，17)已知首項都是1的兩個數列{a_n}，{b_n}(b_n≠0，n∈N^*)滿足a_nb_n＋1－a_n＋1b_n＋2b_n＋1b_n＝0.

(1)令c_n＝bn(an)，求數列{c_n}的通項公式；

(2)若b_n＝3^n－1，求數列{a_n}的前n項和S_n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.(2014·四川，19)設等差數列{a_n}的公差為d，點(a_n，b_n)在函數f(x)＝2^x的圖象上(n∈N^*).

(1)若a₁＝－2，點(a₈，4b₇)在函數f(x)的圖象上，求數列{a_n}的前n項和S_n；

(2)若a₁＝1，函數f(x)的圖象在點(a₂，b₂)處的切線在x軸上的截距為2－ln 2(1)，求數列bn(an)的前n項和T_n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.(2015·湖北，18)設等差數列{a_n}的公差為d，前n項和為S_n，等比數列{b_n}的公比為q，已知b₁＝a₁，b₂＝2，q＝d，S₁₀＝100.

(1)求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；

(2)當d>1時，記c_n＝bn(an)，求數列{c_n}的前n項和T_n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4．(2015·山東，18)設數列{a_n}的前n項和為S_n.已知2S_n＝3ⁿ＋3.

(1)求{a_n}的通項公式；

(2)若數列{b_n}滿足a_nb_n＝log₃a_n，求{b_n}的前n項和T_n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.(2015·浙江，17)已知數列{a_n}和{b_n}滿足a₁＝2，b₁＝1，a_n＋1＝2a_n(n∈N^*)，b₁＋2(1)b₂＋3(1)b₃＋…＋n(1)b_n＝b_n＋1－1(n∈N^*).

(1)求a_n與b_n；

(2)記數列{a_nb_n}的前n項和為T_n，求T_n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.(2015·湖南，19)設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁＝1，a₂＝2，且a_n＋2＝3S_n－S_n＋1＋3, n∈N^*.

(1)證明：a_n＋2＝3a_n；

(2)求S_n.