2.1.2 離散型隨機(jī)變量的分布列

【課標(biāo)要求】

1．理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念．認(rèn)識分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性．

2．掌握離散型隨機(jī)變量分布列的表示方法和性質(zhì)．

3．通過實例(如彩票抽獎)，理解兩點分布和超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用．

【核心掃描】

1．離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念．(重點)

2．離散型隨機(jī)變量分布列的表示方法和性質(zhì)．(重點)

3．兩點分布與超幾何分布的概念及應(yīng)用．(難點)

 

自學(xué)導(dǎo)引

1．離散型隨機(jī)變量的分布列

(1)定義：若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x₁，x₂，…，x_i，…，x_n，X取每一個值x_i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x_i)＝p_i，以表格的形式表示如下：

此表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．

(2)性質(zhì)：①p_i≥0，i＝1,2,3，…，n；②p(n)_i＝1.

想一想：如何求離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率．

提示 離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．

2．兩個特殊分布列

(1)兩點分布列

若隨機(jī)變量X的分布列為

則稱該分布列為兩點分布列．

若隨機(jī)變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布，稱p＝P(X＝1)為成功概率．

(2)超幾何分布列

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有k件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝N(n)，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N^*，則稱分布列

為超幾何分布列，隨機(jī)變量X服從超幾何分布．

試一試：只取兩個不同值的隨機(jī)變量一定服從兩點分布嗎？舉例說明．

提示 只取兩個不同值的隨機(jī)變量并不一定服從兩點分布．例如：隨機(jī)變量X的分布列如下：

則X不服從兩點分布，因為X的取值不是0或1.

 

 

 

 

名師點睛

1．求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟

(1)找出隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值x_i(i＝1,2，…)；

(2)求出取每一個值的概率P(ξ＝x_i)＝p_i；

(3)列出表格．

2．求離散型隨機(jī)變量分布列時應(yīng)注意以下幾點

(1)確定離散型隨機(jī)變量ξ的分布列的關(guān)鍵是要搞清ξ取每一個值對應(yīng)的隨機(jī)事件，進(jìn)一步利用排列、組合知識求出ξ取每一個值的概率．對于隨機(jī)變量ξ取值較多或無窮多時，應(yīng)由簡單情況先導(dǎo)出一般的通式，從而簡化過程．

(2)在求離散型隨機(jī)變量ξ的分布列時，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣不但可以減少運算量，還可驗證分布列是否正確．

3．兩點分布與超幾何分布

(1)兩點分布又稱為0～1分布或伯努利分布，它反映了隨機(jī)試驗的結(jié)果只有兩種可能，如抽取的彩券是否中獎；買回的一件產(chǎn)品是否為正品；一次投籃是否命中等．在兩點分布中，隨機(jī)變量的取值必須是0和1，否則就不是兩點分布．

(2)超幾何分布列給出了一類用數(shù)字模型解決的問題，對該類問題直接套用公式即可．但

在解決相關(guān)問題時，首先確定隨機(jī)變量X是否服從超幾何分布.

題型一 求離散型隨機(jī)變量的分布列

【例1】 袋中裝有編號為1～6的同樣大小的6個球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取3個球，設(shè)ξ表示取出3個球中的最大號碼，求ξ的分布列．

[思路探索] 確定隨機(jī)變量ξ的所有可能取值，分別求出ξ取各值的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[規(guī)律方法] 求離散型隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵有三點：(1)隨機(jī)變量的取值；(2)每一個取值所對應(yīng)的概率；(3)所有概率和是否為1來檢驗．

【變式1】 從集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一個．記所取出的非空子集的元素個數(shù)為ξ，求ξ的分布列．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

題型二 分布列的性質(zhì)及應(yīng)用

【例2】 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列P5(k)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．

(1)求常數(shù)a的值；

(2)求P5(3)；

(3)求P10(7).

[思路探索] 已知隨機(jī)變量X的分布列，根據(jù)分布列的性質(zhì)確定a及相應(yīng)區(qū)間的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[規(guī)律方法] 應(yīng)熟悉分布列的基本性質(zhì)：若隨機(jī)變量X的取值為x₁，x₂，…，x_n，取這些值的概率為P(X＝x_i)＝p_i，i＝1，2，…，n，則①p_i≥0，i＝1,2，…，n，②p₁＋p₂＋…＋p_n＝1.此外，利用分布列的性質(zhì)檢驗所求分布列的正誤，是非常重要的思想方法．③一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．

【變式2】 已知隨機(jī)變量X只能取三個值x₁，x₂，x₃，其概率值依次成等差數(shù)列，求公差d的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

題型三 超幾何分布

【例3】 在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎品．

(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列；

(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，

①求顧客乙中獎的概率；

②設(shè)顧客乙獲得的獎品總價值Y元，求Y的分布列．

審題指導(dǎo) 

―→

―→

[規(guī)范解答]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【題后反思】 解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點

(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機(jī)械地記憶．

(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列．

【變式3】 (2013·南昌高二檢測)從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動．

(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；

(2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的分布列．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

方法技巧 求隨機(jī)變量分布列的技巧

求分布列的步驟：(1)明確隨機(jī)變量ξ取哪些值；(2)求ξ取每一個值的概率；(3)列成表．其中(1)是基礎(chǔ)，(2)是關(guān)鍵．

【示例1】 袋中有4個紅球，3個黑球，從袋中隨機(jī)取球，設(shè)取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球．

(1)求得分X的分布列；

(2)求得分大于6分的概率．

[思路分析] 按照求分布列的三步驟來求解．