2.1.2 離散型隨機變量的分布列

【課標要求】

1．理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念．認識分布列對于刻畫隨機現象的重要性．

2．掌握離散型隨機變量分布列的表示方法和性質．

3．通過實例(如彩票抽獎)，理解兩點分布和超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單應用．

【核心掃描】

1．離散型隨機變量及其分布列的概念．(重點)

2．離散型隨機變量分布列的表示方法和性質．(重點)

3．兩點分布與超幾何分布的概念及應用．(難點)

 

自學導引

1．離散型隨機變量的分布列

(1)定義：若離散型隨機變量X可能取的不同值為x₁，x₂，…，x_i，…，x_n，X取每一個值x_i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x_i)＝p_i，以表格的形式表示如下：

此表稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．

(2)性質：①p_i≥0，i＝1,2,3，…，n；②p(n)_i＝1.

想一想：如何求離散型隨機變量在某一范圍內的概率．

提示 離散型隨機變量在某一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和．

2．兩個特殊分布列

(1)兩點分布列

若隨機變量X的分布列為

則稱該分布列為兩點分布列．

若隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布，稱p＝P(X＝1)為成功概率．

(2)超幾何分布列

一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有k件次品，則事件{X＝k}發生的概率為P(X＝k)＝N(n)，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N^*，則稱分布列

為超幾何分布列，隨機變量X服從超幾何分布．

試一試：只取兩個不同值的隨機變量一定服從兩點分布嗎？舉例說明．

提示 只取兩個不同值的隨機變量并不一定服從兩點分布．例如：隨機變量X的分布列如下：

則X不服從兩點分布，因為X的取值不是0或1.

 

 

 

 

名師點睛

1．求離散型隨機變量的分布列的步驟

(1)找出隨機變量ξ的所有可能的取值x_i(i＝1,2，…)；

(2)求出取每一個值的概率P(ξ＝x_i)＝p_i；

(3)列出表格．

2．求離散型隨機變量分布列時應注意以下幾點

(1)確定離散型隨機變量ξ的分布列的關鍵是要搞清ξ取每一個值對應的隨機事件，進一步利用排列、組合知識求出ξ取每一個值的概率．對于隨機變量ξ取值較多或無窮多時，應由簡單情況先導出一般的通式，從而簡化過程．

(2)在求離散型隨機變量ξ的分布列時，要充分利用分布列的性質，這樣不但可以減少運算量，還可驗證分布列是否正確．

3．兩點分布與超幾何分布

(1)兩點分布又稱為0～1分布或伯努利分布，它反映了隨機試驗的結果只有兩種可能，如抽取的彩券是否中獎；買回的一件產品是否為正品；一次投籃是否命中等．在兩點分布中，隨機變量的取值必須是0和1，否則就不是兩點分布．

(2)超幾何分布列給出了一類用數字模型解決的問題，對該類問題直接套用公式即可．但

在解決相關問題時，首先確定隨機變量X是否服從超幾何分布.

題型一 求離散型隨機變量的分布列

【例1】 袋中裝有編號為1～6的同樣大小的6個球，現從袋中隨機取3個球，設ξ表示取出3個球中的最大號碼，求ξ的分布列．

[思路探索] 確定隨機變量ξ的所有可能取值，分別求出ξ取各值的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[規律方法] 求離散型隨機變量的分布列關鍵有三點：(1)隨機變量的取值；(2)每一個取值所對應的概率；(3)所有概率和是否為1來檢驗．

【變式1】 從集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一個．記所取出的非空子集的元素個數為ξ，求ξ的分布列．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

題型二 分布列的性質及應用

【例2】 設隨機變量X的分布列P5(k)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．

(1)求常數a的值；

(2)求P5(3)；

(3)求P10(7).

[思路探索] 已知隨機變量X的分布列，根據分布列的性質確定a及相應區間的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[規律方法] 應熟悉分布列的基本性質：若隨機變量X的取值為x₁，x₂，…，x_n，取這些值的概率為P(X＝x_i)＝p_i，i＝1，2，…，n，則①p_i≥0，i＝1,2，…，n，②p₁＋p₂＋…＋p_n＝1.此外，利用分布列的性質檢驗所求分布列的正誤，是非常重要的思想方法．③一般地，離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和．

【變式2】 已知隨機變量X只能取三個值x₁，x₂，x₃，其概率值依次成等差數列，求公差d的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

題型三 超幾何分布

【例3】 在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎品．

(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數X的分布列；

(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，

①求顧客乙中獎的概率；

②設顧客乙獲得的獎品總價值Y元，求Y的分布列．

審題指導 

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[規范解答]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【題后反思】 解決超幾何分布問題的兩個關鍵點

(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶．

(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列．

【變式3】 (2013·南昌高二檢測)從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動．

(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；

(2)求所選3人中男生人數ξ的分布列．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

方法技巧 求隨機變量分布列的技巧

求分布列的步驟：(1)明確隨機變量ξ取哪些值；(2)求ξ取每一個值的概率；(3)列成表．其中(1)是基礎，(2)是關鍵．

【示例1】 袋中有4個紅球，3個黑球，從袋中隨機取球，設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球．

(1)求得分X的分布列；

(2)求得分大于6分的概率．

[思路分析] 按照求分布列的三步驟來求解．