2．1.1 離散型隨機變量

 

【課標要求】

1．理解隨機變量及離散型隨機變量的含義．

2．了解隨機變量與函數的區別與聯系．

3．會用離散型隨機變量描述隨機現象．

【核心掃描】

1．隨機變量及離散型隨機變量的概念．(重點)

2．隨機變量與函數的關系．(易混點)

3．用離散型隨機變量描述隨機現象．(難點)

自學導引

1．隨機變量

(1)定義：在隨機試驗中，確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數字表示．在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化．像這種隨著實驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．

(2)表示：隨機變量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

試一試：下列變量中，不是隨機變量的是(  )．

A．擲一枚骰子，所得的點數

B．一射手射擊一次，擊中的環數

C．某日上證收盤指數

D．標準狀態下，水在100℃時會沸騰

提示 根據隨機變量定義知A、B、C為隨機變量，D不是．故選D.

2．隨機變量與函數的關系

試一試：一盒乒乓球共15個，其中有4個是已用過的，在比賽時，某運動員從中隨機取了2個使用，比賽結束后又放回盒中，你能說出此時盒中已用過的乒乓球個數的所有可能取值嗎？

提示 所取2個乒乓球中未使用的乒乓球數可能為0,1,2，所以它的可能值為4,5,6.

3．離散型隨機變量

所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．

想一想：除了離散型隨機變量外，還有其他類型的隨機變量嗎？舉例說明．

提示 存在其他類型的隨機變量，如某種規格零件的尺寸，人的頭發長度，人的身高等等．這些量的取值是一個取值范圍，均無法一一列出．

 

 

名師點睛

1．隨機試驗

課本在介紹隨機變量的概念時，不加定義地引入了隨機試驗的概念．一般地，一個試驗如果滿足下列條件：

①試驗可以在相同的情形下重復進行；

②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；

③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果．

這種試驗就是一個隨機試驗，為了方便起見，也簡稱試驗．

2．隨機變量的理解

(1)隨機變量是將隨機試驗的結果數量化．事實上，隨機變量和函數都是一種映射，隨機變量是把隨機試驗的結果映射為實數，函數是把實數映射為實數．在函數的概念中，函數f(x)的自變量是實數x，在隨機變量的概念中，隨機變量X的自變量是隨機試驗可能出現的結果．

(2)隨機變量的取值對應于隨機試驗的某一隨機事件．如：“擲一枚骰子”這一隨機試驗中所得點數是一隨機變量ξ，隨機變量“ξ＝2”，即對應隨機事件：“擲一枚骰子，出現2

點”；而“ξ＝3或ξ＝4”，即對應隨機事件：“擲一枚骰子出現3點或4點”.

題型一 隨機變量的概念

【例1】 指出下列變量中，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由．

①任意擲一枚均勻硬幣5次，出現正面向上的次數；

②投一顆質地均勻的骰子出現的點數(最上面的數字)；

③某個人的屬相隨年齡的變化；

④在標準狀況下，水在0 ℃時結冰．

[思路探索] 根據隨機變量的概念判斷．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[規律方法] 解答本類題目的關鍵在于分析變量是否滿足隨機試驗的結果，隨機變量從本質上講就是以隨機試驗的每一個可能結果為一個映射，即隨機變量的取值實質上是試驗結果對應的數，但這些數是預先知道所有可能取的值，而不知道在一次試驗中哪一個結果發生，隨機變量取哪一個值．

【變式1】 若10件產品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是(  )．

A．取到產品的件數  B．取到正品的概率

C．取到次品的件數  D．取到次品的概率

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

題型二 離散型隨機變量的判定

【例2】 指出下列隨機變量是否是離散型隨機變量，并說明理由．

(1)從10張已編好號碼的卡片(從1號到10號)中任取一張，被取出的卡片的號數；

(2)一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數；

(3)某林場樹木最高達30 m，則此林場中樹木的高度；

(4)某加工廠加工的某種銅管的外徑與規定的外徑尺寸之差．

[思路探索] 本題主要考查離散型隨機變量的概念，解決本題首先明確是否是隨機變量，然后根據定義判斷．如果能夠一一列出就是離散型隨機變量．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[規律方法] 離散型隨機變量的判定方法

判斷一個隨機變量X是否為離散型隨機變量的關鍵是判斷隨機變量X的所有取值是否可以一一列出，其具體方法如下：

(1)明確隨機試驗的所有可能結果；

(2)將隨機試驗的試驗結果數量化；

(3)確定試驗結果所對應的實數是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是．

【變式2】 ①某座大橋一天經過的中華牌轎車的輛數為X；

②某網站中歌曲《愛我中華》一天內被點擊的次數為X；

③射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分．

上述問題中的X是離散型隨機變量的是(  )．

A．①②③  B．①②  C．①③  D．②③

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

題型三 隨機變量的應用

【例3】 寫出下列各隨機變量的可能取值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果．

(1)拋擲甲、乙兩枚骰子，所得點數之和Y.

(2)設一汽車在開往目的地的道路上需經過5盞信號燈，Y表示汽車首次停下時已通過的信號燈的盞數，寫出Y所有可能取值，并說明這些值所表示的試驗結果．

(3)一個袋中裝有5個同樣大小的球，編號為1,2,3,4,5.現從該袋內隨機取出3個球，被取出的球的最大號碼數為ξ.

審題指導 

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[規范解答]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【題后反思】 隨機變量從本質上講就是以隨機試驗的每個結果為自變量的一個函數，即隨機變量的取值本質上是試驗結果對應的數，起到了描述隨機事件的作用．這些數是預先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一個值，這便是“隨機”的本源．

【變式3】 寫出下列隨機變量可能的取值，并說明隨機變量的取值所表示的隨機試驗的結果．

(1)從一個裝有編號為1號到10號的10個球的袋中，任取1球，被取出的球的編號為X；

(2)在含有10件次品的100件產品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件數X是一個隨機變量．

(3)一袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數ξ是一個隨機變量．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

誤區警示 未理解題意，審題不清致錯

【示例】 小王參加一次比賽，比賽共設三關，第一、二關各有兩個必答題，如果每關兩個問題都答對，可進入下一關，第三關有三個問題，只要答對其中兩個問題，則闖關成功．每過一關可一次性獲得價值分別為1 000元，3 000元，6 000元的獎品(不重復得獎)，用ξ表示小王所獲獎品的價值，寫出ξ的可能取值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 解決此類問題的關鍵是理解清楚隨機變量所有可能的取值及其取每一個值時

對應的意義，不要漏掉或多取值，同時要找好對應關系.