從各版課標教材的比較談初中函數教學
瀏覽次數：次 發布時間：2019-06-10 發布人：馬小龍
從各版課標教材的比較談初中函數教學
函數是中學數學的核心內容，是代數的“紐帶”，代數式、方程、不等式、數列、微積分等都與函數知識有直接的聯系。同時，函數在物理、化學等自然科學中有著廣泛的應用，在解決生產生活中的實際問題時，也往往采用函數作為建模的基本工具。另外，函數知識的學習對學生思維能力的發展具有重要意義，從常量數學到變量數學的轉變，是從函數概念的系統學習開始的。因此，函數的教學非常重要。課改以來，各版課標教材對于函數內容的處理也非常重視，百花齊放，各有特色。本文將對一些版本的初中數學課標教材的函數內容的處理進行比較分析，并以此為依托，對如何進行初中函數教學提出一些思考。
一、教材處理的比較與分析
在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中，函數內容主要包括“函數”“一次函數”“反比例函數”和“二次函數”。各個版本課標教材對于這些內容的安排呈現了一些共同的特點。
1．螺旋上升安排函數內容，分散教學難點
為了分散函數教學這個傳統的難點，與以往大綱教材將函數內容集中安排在《代數》第三冊相比，各版課標教材都將函數內容分散處理。下表展示了一些版本教材對于這些內容的具體安排。
可以發現，分散安排、螺旋上升，是各個版本教材對于函數內容安排的一個共同特點。例如，人教版教材按照“一次”和“二次”的數量關系，使方程和函數交替出現，即按一次方程（組）、一次函數、二次方程、二次函數的順序螺旋上升。這樣處理，可以克服直線式發展所產生的不易理解消化的弊病，分階段地不斷深化對方程和函數的理解。在河北教育版教材中，全套書涉及函數內容的章有“數量與數量之間的關系（七上第5章）”“函數（八下第21章）”“一次函數（八下第25章）”“反比例函數（九上第30章）”“二次函數（九下第34章）”等。
為了克服提前安排函數內容帶來的“難點提前”的問題，各版課標教材也都注意在正式出現函數概念之前，結合代數式、方程、不等式等內容，滲透函數中變化與對應的思想，為理解函數概念做準備。有些版本教材還專門設置相關章節，提前講授變量之間的關系。例如，河北教育版教材在七上就安排了“數量與數量之間的關系”一章，將傳統教材中分而設置的代數式與函數的初步知識有機結合，通過“小麥出粉率”“運裝糧食”“蔬菜價格”“拖拉機耕地”等問題背景，結合列代數式、求代數式的值等，加強對數量之間關系的認識，為后續學習進行鋪墊。
2．提供豐富的函數例證，幫助學生形成函數概念。
對于函數的認識，各版教材也基本按照初步認識→一般函數（函數概念、表示法）→特殊函數（一次函數、反比例函數、二次函數）的線索展開。各個版本教材在講授函數概念以及具體的函數時，都注意采用實例。采用的實例注意聯系學生當前實際，注意提供解析式、表格、圖象等“多元聯系表示”。一些版本教材在引入函數概念時的例子如下表：
人教版
路程與時間，售票數與票房收入，彈簧長度與懸掛重物質量，圓面積與半徑，心電圖，人口數與年份，氣溫與時間
北師大版
摩天輪高度與時間，堆放物體總數與層數，剎車距離與時間，氣溫與時間
華師大版
氣溫與時間，利率與存期，波長與頻率，圓面積與半徑
河北教育版
飛船高度與時間，折紙厚度與次數，路程與時間，矩形面積與邊長，港口水深與時間，
江蘇科技版
路程與時間，蓄水量與水位，搭小魚所需火柴數與小魚各數，圓面積與半徑
浙江教育版
圓面積與半徑，工資與工作時數，火星車速度與時間，跳遠距離與起跳速度
抽象概念的學習要從具體例證開始，理解抽象概念需要具體例證的支持。函數是反映客觀世界變化規律的一種數學模型，從典型實例出發引入函數概念，不僅有利于體現“函數模型”的思想，也有利于學生從各種運動變化的具體實例中理解函數的變化對應的思想，利于函數概念的形成。采用解析式、表格、圖象等“多元聯系表示”呈現具體實例，也有利于學生抽象概括出函數概念的“單值對應”的核心，避免產生“只有解析式表示的才是函數”的誤解。
3．加強函數與相關內容的聯系，用函數觀點統領相關內容。
函數、方程、不等式都可以認為是刻畫數量之間的關系的，突出它們之間的聯系也是一些版本教材的特點之一。許多版本的教材都在教科書相關位置專門設置小節，講授函數與方程、不等式的聯系，從函數角度提高對方程、不等式等內容的認識。具體如下
人教版
八上“用函數觀點看方程（組）與不等式（包括‘一次函數與一元一次方程’‘一次函數與二元一次方程’‘一次函數與一元一次不等式’三個小節）”；九下“用函數觀點看一元二次方程”。
北師大版
八上“二元一次方程與一次函數”；八下“一元一次不等式與一次函數”；九下“二次函數與一元二次方程”
河北教育版
八下“一次函數與方程、不等式的關系”
江蘇科技版
八上“二元一次方程組的圖象解法”；八下“一元一次不等式與一元一次方程中、一次函數”；九下“二次函數與一元二次方程”
有些版本教材雖然沒有專門設節，但也在相關內容中出現了反映函數與方程、不等式聯系的內容。例如，華師大版教材和浙江教育版教材在“函數的應用”內容中呈現二元一次方程組、一元二次方程的圖象解法等內容；河北教育版教材在“二次函數”一章“函數的應用”一節涉及二次函數與一元二次方程的聯系的內容等。
函數概念是聯系中學數學內容的一條紐帶，它是覆蓋面廣、有統帥作用的概念。在初中數學代數式、方程、不等式的教學中，突出函數的觀點，引導學生從函數思想出發思考和理解相關內容，從而使學生建立起“以函數為綱”的體現整體性、聯系性的數學認知結構，對于豐富教學內容、提高學生數學學習中的思想性、發展學生的數學能力，是非常有益的：
二、對初中函數教學的建議
通過以上比較分析可以現，盡管各版教材章節安排、例題習題選取等都各不相同，但從整體安排到呈現方式都存在著很大的共性，由此也能反映出不同版本教材編者對于這部分內容的理解也是趨同的。因此，只有深入理解教材的編寫意圖，把握函數教學的核心，才能更好的完成這一部分內容的教學。
1．抓住函數概念核心，加強概念形成的教學
函數是反映客觀世界變化規律的一種數學模型，反映的是什么樣的規律呢？這也就是函數概念的核心的問題。縱觀300年來函數概念的發展，從早期幾何觀念下的函數，到十八世紀代數觀念下的函數，到十九世紀對應關系下的函數，再到現代的集合論下的函數，眾多數學家從幾何、代數、直至對應、集合的角度，不斷賦予函數概念以新的思想，逐漸形成了現代函數的定義形式。而在初中學段引入的函數概念，是從運動變化的觀點出發，用“變量”來描述函數：“在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，則稱x為自變量，y為x的函數”。分析這個定義對函數概念內涵的文字描述，可以發現，它強調了近代函數定義中的“對應”，并且明確了“y對x是單值對應”，這又是吸收了現代函數概念中對“映射”的要求，但是沒有從“集合”角度描述函數。因此可以認為，初中數學中的函數概念的核心，是函數概念三要素中的對應關系，并且明確其為“單值對應”關系。這主要包括了兩層含義：第一，兩個變量是互相聯系的，一個變量變化時，另一個變量也發生變化；第二，函數與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，函數的值是唯一確定的。
函數概念具有內容的概括性、符號的抽象性、形式的多樣性等特點。學生初次接觸函數概念時，涉及到很多復雜的層次，包括：（1）在一個“變化”過程中；（2）存在“兩個”變量；（3）這兩個變量具有一定的“聯系”；（4）一個變量的變化會引起另一個變量也“隨之”變化；（5）兩個變量存在“單值對應”的關系。這將直接導致學生在概括函數概念時出現障礙。另外，學生在學習函數概念之前，接觸的基本上是常量數學的內容，是靜態的數學知識。而函數研究的是變量與變量之間的關系，其特征是變化的、發展的、處于兩個量的相互聯系之中的。因此，函數概念形成中的抽象與概括以及對“單值對應”的理解也就成為函數概念教學的難點。
學生理解和掌握概念的過程實際上是掌握同類事物的共同、本質屬性的過程，概念形成和概念同化反映了學生掌握概念的兩種不同心理過程。根據中學生的認知特點，掌握概念的方式，應更多的采用概念形成，即從典型、豐富的具體例子出發，學生經過自己的實踐活動，從中歸納、概括出一類事物的共同本質特征，從而理解和掌握概念。為了幫助學生形成函數概念，教學中要注意“舉三反一”——通過給學生大量客觀世界中反映這種變化規律的實例（解析式的、圖象的、表格的），讓學生經歷“發生發展過程”，為學生提供獨立概括概念的機會，經過分析、綜合、比較而概括出函數概念“單值對應”的本質屬性。在此基礎上，再“舉一反三”——用學生得到的函數概念再去看其他的對應問題，是不是符合函數概念的“單值對應”。在這一過程中，要注意恰當地使用反例，鞏固學生對于函數概念的理解。
同樣，對于特殊的函數（如正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數等），也要注意把握其概念的核心，注意概念的形成的教學。理解概念是一切數學活動的基礎，學生的概念理解不清就無法進一步學習相關內容。對于函數概念教學的重要性要有充分的認識，要舍得花時間、花力氣。
2．加強研究函數的一般方法的引導
如前所述，對于函數這部分內容，各個版本課標教材都是按照從一般到特殊的線索展開，對于一般函數，要研究它的概念、表示法、圖象等；對于特殊函數，要研究它們的概念，圖象和性質以及其他一些相關問題。仔細比較各個版本的教材，可以發現教材對于各個部分內容的處理思路、呈現方式也是基本一致的，其中存在著很多研究方法的聯系。
例如，對于反比例函數概念的教學，大多經歷這樣的過程：從一些具體實例引入（包括勻速運動路程固定，速度與時間的關系；商品總價固定，單價與商品數量的關系；長方形面積固定，長與寬的關系；等等）；讓學生概括其中的共同本質特征（函數關系，反比例關系）；下定義（給出反比例函數的文字和符號描述）；辨析概念（從反比例關系、函數兩方面辨析概念，注意反例的使用）；例題（給出用概念作判斷的操作步驟）；反思（與正比例函數、一次函數作比較，納入概念系統）等。這個過程實際上體現了概念教學的幾個基本環節：
? 概念的引入（從數學概念體系的發展過程或解決實際問題的需要引入）
? 概念的形成（提供典型豐富的具體例證，概括其本質屬性）
? 概念的明確（準確的數學語言描述概念的內涵與外延）
? 概念的表示（用數學符號表示，這是數學概念的特色）
? 概念的鞏固和應用（以實例（正例、反例）為載體分析關鍵詞的含義，應用概念作判斷）。
實際上，相關的函數概念的教學都要經歷這樣的幾個過程。因此在教學過程中，適時地給他們一些“先行組織者”，加以研究方法的引導，對于學生理解相關概念是大有裨益的，可以起到事半功倍的效果。
再如，對于幾種特殊函數性質的討論，也有很多研究方法的聯系。無論是對于正比例函數，還是一次函數、反比例函數、二次函數，都要研究以下問題：
? 研究的內容：自變量取值范圍、函數的圖象、函數的增減性等；
? 研究的方法：“三步曲”——畫函數圖象，觀察歸納特征，數學語言描述性質；
? 相關的問題：圖象與坐標軸的交點、何時函數值大于零或小于零等。
這些內容，反映了我們研究函數問題的“基本套路”。在開始對特殊函數的研究中，需要教師遵循這個套路，并能適時歸納和總結。在后續對其他函數的研究中，這個先行組織者就能起到“導游圖”的作用，為將要學習的內容提供了一個框架或線索，使學生對學習進程心中有數，有助于學生完成后續內容的學習。
3．注意函數思想的滲透，用函數觀點統領相關內容
客觀世界的事物是運動變化的、相互制約的，相互之間既有聯系又有矛盾，從而推動著事物向前發展。這種關系在數學中集中反映在函數和函數思想上。在中學階段的數學教學要突出函數的內容，是數學家們長期實踐后得出的結論。克萊因在為中學數學教學起草的《米蘭大綱》（1905）中明確提出：“應將養成函數思想和空間觀察能力作為數學教學的基礎”；在其著作《高觀點下的初等數學》中，他進一步強調用近代數學的觀點來改造傳統的中學數學內容，主張加強函數和微積分的教學，改革和充實代數的內容。
函數描寫運動，刻畫一個變量隨著另一個變量的變化，給出一個數集到另一個數集的對應關系。變化與對應是函數思想的核心內容，而變量思想是函數思想的基礎。在數學思維的發展過程中，由“常量”到“變量”是一個質的轉變，發展學生對變量概念的理解需要一個較長的過程。這就要求教師在教學中要挖掘知識中蘊含的函數思想，有意識、有計劃、有目的地進行函數思想方法的培養，潛移默化地啟發學生領悟蘊含于數學知識之中的函數思想方法。
首先，在函數概念教學之前，需要提前滲透變化與對應的思想。在初中階段，由具體的數過渡到用字母表示數，再由字母過渡到代數式、方程及簡單的不等式等，都需要不斷滲透變量思想的教學，在“變”與“不變”的辯證思想教學中強化學生的變量意識。例如，在有理數的運算中，可以通過讓學生進行“對不同的數加上同一個數得到不同的結果”的練習，滲透集合、對應、根據法則由自變量求函數值；在進行“求代數式的值”的教學時，可以通過指出“字母每取一個值，代數式就有唯一確定的值”以及進行一些相應練習滲透對應的思想；通過討論整式、分式、根式中字母的取值范圍，可以滲透了函數的定義域；等等。這樣做，將靜態的知識模式演變為動態的討論，賦予了函數的形式，讓學生以運動的觀點去領會知識，這是發展函數思想的重要途徑。
其次，在進行函數內容教學時，要適時明確函數思想。在進行一般函數概念教學時，要把函數思想明確給學生，結合生活中函數關系的實例，使學生對函數中變化、對應的思想有初步理解，這是理性認識的開始。在進行具體初等函數教學時，要進一步充實函數思想的理論內容。這時，一方面要繼續結合具體函數概念的建立讓學生體會函數的變化對應的思想；另一方面要結合函數性質、函數圖象的教學，進一步提煉和介紹函數思想方法。
最后，要注意函數思想的應用，用函數思想看問題。數可以看成特殊函數；數的運算可以看成特殊的二元函數；代數式可以容易地被改造成一個函數；數列是特殊的函數；解一元方程就是求一個函數的零點，解三角形化歸為一個三角函數的問題；等等。因此，在學習函數概念后，要注意讓學生以函數觀點去重新審視相關問題。例如，方程f(x)=0就是函數y=f(x)在變化過程中的一個特殊狀態，解方程就是求函數的零點，從而對方程的研究（像根的性質、個數、分布范圍等）就與對應的函數性質研究聯系起來了。再如，求不等式(x)＞0的解集就是考察函數y=f(x)的圖象與x軸的位置關系問題，即考慮函數y=f(x)的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍。由于函數具有表現的豐富性、變化的過程性等特點，用函數觀點研究方程、不等式，可以引進運動變化、數形結合等思想，這就給方程和不等式的研究開拓了思路和方法．這對理解他們的意義和解決有關問題都是非常有益的。還可以使學生已有的認知結構得到重新組合，在使知識系統化的過程中，加深對函數思想的理解和運用。
函數是中學數學的核心內容，是代數的“紐帶”，代數式、方程、不等式、數列、微積分等都與函數知識有直接的聯系。同時，函數在物理、化學等自然科學中有著廣泛的應用，在解決生產生活中的實際問題時，也往往采用函數作為建模的基本工具。另外，函數知識的學習對學生思維能力的發展具有重要意義，從常量數學到變量數學的轉變，是從函數概念的系統學習開始的。因此，函數的教學非常重要。課改以來，各版課標教材對于函數內容的處理也非常重視，百花齊放，各有特色。本文將對一些版本的初中數學課標教材的函數內容的處理進行比較分析，并以此為依托，對如何進行初中函數教學提出一些思考。
一、教材處理的比較與分析
在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中，函數內容主要包括“函數”“一次函數”“反比例函數”和“二次函數”。各個版本課標教材對于這些內容的安排呈現了一些共同的特點。
1．螺旋上升安排函數內容，分散教學難點
為了分散函數教學這個傳統的難點，與以往大綱教材將函數內容集中安排在《代數》第三冊相比，各版課標教材都將函數內容分散處理。下表展示了一些版本教材對于這些內容的具體安排。
可以發現，分散安排、螺旋上升，是各個版本教材對于函數內容安排的一個共同特點。例如，人教版教材按照“一次”和“二次”的數量關系，使方程和函數交替出現，即按一次方程（組）、一次函數、二次方程、二次函數的順序螺旋上升。這樣處理，可以克服直線式發展所產生的不易理解消化的弊病，分階段地不斷深化對方程和函數的理解。在河北教育版教材中，全套書涉及函數內容的章有“數量與數量之間的關系（七上第5章）”“函數（八下第21章）”“一次函數（八下第25章）”“反比例函數（九上第30章）”“二次函數（九下第34章）”等。
為了克服提前安排函數內容帶來的“難點提前”的問題，各版課標教材也都注意在正式出現函數概念之前，結合代數式、方程、不等式等內容，滲透函數中變化與對應的思想，為理解函數概念做準備。有些版本教材還專門設置相關章節，提前講授變量之間的關系。例如，河北教育版教材在七上就安排了“數量與數量之間的關系”一章，將傳統教材中分而設置的代數式與函數的初步知識有機結合，通過“小麥出粉率”“運裝糧食”“蔬菜價格”“拖拉機耕地”等問題背景，結合列代數式、求代數式的值等，加強對數量之間關系的認識，為后續學習進行鋪墊。
2．提供豐富的函數例證，幫助學生形成函數概念。
對于函數的認識，各版教材也基本按照初步認識→一般函數（函數概念、表示法）→特殊函數（一次函數、反比例函數、二次函數）的線索展開。各個版本教材在講授函數概念以及具體的函數時，都注意采用實例。采用的實例注意聯系學生當前實際，注意提供解析式、表格、圖象等“多元聯系表示”。一些版本教材在引入函數概念時的例子如下表：
人教版
路程與時間，售票數與票房收入，彈簧長度與懸掛重物質量，圓面積與半徑，心電圖，人口數與年份，氣溫與時間
北師大版
摩天輪高度與時間，堆放物體總數與層數，剎車距離與時間，氣溫與時間
華師大版
氣溫與時間，利率與存期，波長與頻率，圓面積與半徑
河北教育版
飛船高度與時間，折紙厚度與次數，路程與時間，矩形面積與邊長，港口水深與時間，
江蘇科技版
路程與時間，蓄水量與水位，搭小魚所需火柴數與小魚各數，圓面積與半徑
浙江教育版
圓面積與半徑，工資與工作時數，火星車速度與時間，跳遠距離與起跳速度
抽象概念的學習要從具體例證開始，理解抽象概念需要具體例證的支持。函數是反映客觀世界變化規律的一種數學模型，從典型實例出發引入函數概念，不僅有利于體現“函數模型”的思想，也有利于學生從各種運動變化的具體實例中理解函數的變化對應的思想，利于函數概念的形成。采用解析式、表格、圖象等“多元聯系表示”呈現具體實例，也有利于學生抽象概括出函數概念的“單值對應”的核心，避免產生“只有解析式表示的才是函數”的誤解。
3．加強函數與相關內容的聯系，用函數觀點統領相關內容。
函數、方程、不等式都可以認為是刻畫數量之間的關系的，突出它們之間的聯系也是一些版本教材的特點之一。許多版本的教材都在教科書相關位置專門設置小節，講授函數與方程、不等式的聯系，從函數角度提高對方程、不等式等內容的認識。具體如下
人教版
八上“用函數觀點看方程（組）與不等式（包括‘一次函數與一元一次方程’‘一次函數與二元一次方程’‘一次函數與一元一次不等式’三個小節）”；九下“用函數觀點看一元二次方程”。
北師大版
八上“二元一次方程與一次函數”；八下“一元一次不等式與一次函數”；九下“二次函數與一元二次方程”
河北教育版
八下“一次函數與方程、不等式的關系”
江蘇科技版
八上“二元一次方程組的圖象解法”；八下“一元一次不等式與一元一次方程中、一次函數”；九下“二次函數與一元二次方程”
有些版本教材雖然沒有專門設節，但也在相關內容中出現了反映函數與方程、不等式聯系的內容。例如，華師大版教材和浙江教育版教材在“函數的應用”內容中呈現二元一次方程組、一元二次方程的圖象解法等內容；河北教育版教材在“二次函數”一章“函數的應用”一節涉及二次函數與一元二次方程的聯系的內容等。
函數概念是聯系中學數學內容的一條紐帶，它是覆蓋面廣、有統帥作用的概念。在初中數學代數式、方程、不等式的教學中，突出函數的觀點，引導學生從函數思想出發思考和理解相關內容，從而使學生建立起“以函數為綱”的體現整體性、聯系性的數學認知結構，對于豐富教學內容、提高學生數學學習中的思想性、發展學生的數學能力，是非常有益的：
二、對初中函數教學的建議
通過以上比較分析可以現，盡管各版教材章節安排、例題習題選取等都各不相同，但從整體安排到呈現方式都存在著很大的共性，由此也能反映出不同版本教材編者對于這部分內容的理解也是趨同的。因此，只有深入理解教材的編寫意圖，把握函數教學的核心，才能更好的完成這一部分內容的教學。
1．抓住函數概念核心，加強概念形成的教學
函數是反映客觀世界變化規律的一種數學模型，反映的是什么樣的規律呢？這也就是函數概念的核心的問題。縱觀300年來函數概念的發展，從早期幾何觀念下的函數，到十八世紀代數觀念下的函數，到十九世紀對應關系下的函數，再到現代的集合論下的函數，眾多數學家從幾何、代數、直至對應、集合的角度，不斷賦予函數概念以新的思想，逐漸形成了現代函數的定義形式。而在初中學段引入的函數概念，是從運動變化的觀點出發，用“變量”來描述函數：“在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，則稱x為自變量，y為x的函數”。分析這個定義對函數概念內涵的文字描述，可以發現，它強調了近代函數定義中的“對應”，并且明確了“y對x是單值對應”，這又是吸收了現代函數概念中對“映射”的要求，但是沒有從“集合”角度描述函數。因此可以認為，初中數學中的函數概念的核心，是函數概念三要素中的對應關系，并且明確其為“單值對應”關系。這主要包括了兩層含義：第一，兩個變量是互相聯系的，一個變量變化時，另一個變量也發生變化；第二，函數與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，函數的值是唯一確定的。
函數概念具有內容的概括性、符號的抽象性、形式的多樣性等特點。學生初次接觸函數概念時，涉及到很多復雜的層次，包括：（1）在一個“變化”過程中；（2）存在“兩個”變量；（3）這兩個變量具有一定的“聯系”；（4）一個變量的變化會引起另一個變量也“隨之”變化；（5）兩個變量存在“單值對應”的關系。這將直接導致學生在概括函數概念時出現障礙。另外，學生在學習函數概念之前，接觸的基本上是常量數學的內容，是靜態的數學知識。而函數研究的是變量與變量之間的關系，其特征是變化的、發展的、處于兩個量的相互聯系之中的。因此，函數概念形成中的抽象與概括以及對“單值對應”的理解也就成為函數概念教學的難點。
學生理解和掌握概念的過程實際上是掌握同類事物的共同、本質屬性的過程，概念形成和概念同化反映了學生掌握概念的兩種不同心理過程。根據中學生的認知特點，掌握概念的方式，應更多的采用概念形成，即從典型、豐富的具體例子出發，學生經過自己的實踐活動，從中歸納、概括出一類事物的共同本質特征，從而理解和掌握概念。為了幫助學生形成函數概念，教學中要注意“舉三反一”——通過給學生大量客觀世界中反映這種變化規律的實例（解析式的、圖象的、表格的），讓學生經歷“發生發展過程”，為學生提供獨立概括概念的機會，經過分析、綜合、比較而概括出函數概念“單值對應”的本質屬性。在此基礎上，再“舉一反三”——用學生得到的函數概念再去看其他的對應問題，是不是符合函數概念的“單值對應”。在這一過程中，要注意恰當地使用反例，鞏固學生對于函數概念的理解。
同樣，對于特殊的函數（如正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數等），也要注意把握其概念的核心，注意概念的形成的教學。理解概念是一切數學活動的基礎，學生的概念理解不清就無法進一步學習相關內容。對于函數概念教學的重要性要有充分的認識，要舍得花時間、花力氣。
2．加強研究函數的一般方法的引導
如前所述，對于函數這部分內容，各個版本課標教材都是按照從一般到特殊的線索展開，對于一般函數，要研究它的概念、表示法、圖象等；對于特殊函數，要研究它們的概念，圖象和性質以及其他一些相關問題。仔細比較各個版本的教材，可以發現教材對于各個部分內容的處理思路、呈現方式也是基本一致的，其中存在著很多研究方法的聯系。
例如，對于反比例函數概念的教學，大多經歷這樣的過程：從一些具體實例引入（包括勻速運動路程固定，速度與時間的關系；商品總價固定，單價與商品數量的關系；長方形面積固定，長與寬的關系；等等）；讓學生概括其中的共同本質特征（函數關系，反比例關系）；下定義（給出反比例函數的文字和符號描述）；辨析概念（從反比例關系、函數兩方面辨析概念，注意反例的使用）；例題（給出用概念作判斷的操作步驟）；反思（與正比例函數、一次函數作比較，納入概念系統）等。這個過程實際上體現了概念教學的幾個基本環節：
? 概念的引入（從數學概念體系的發展過程或解決實際問題的需要引入）
? 概念的形成（提供典型豐富的具體例證，概括其本質屬性）
? 概念的明確（準確的數學語言描述概念的內涵與外延）
? 概念的表示（用數學符號表示，這是數學概念的特色）
? 概念的鞏固和應用（以實例（正例、反例）為載體分析關鍵詞的含義，應用概念作判斷）。
實際上，相關的函數概念的教學都要經歷這樣的幾個過程。因此在教學過程中，適時地給他們一些“先行組織者”，加以研究方法的引導，對于學生理解相關概念是大有裨益的，可以起到事半功倍的效果。
再如，對于幾種特殊函數性質的討論，也有很多研究方法的聯系。無論是對于正比例函數，還是一次函數、反比例函數、二次函數，都要研究以下問題：
? 研究的內容：自變量取值范圍、函數的圖象、函數的增減性等；
? 研究的方法：“三步曲”——畫函數圖象，觀察歸納特征，數學語言描述性質；
? 相關的問題：圖象與坐標軸的交點、何時函數值大于零或小于零等。
這些內容，反映了我們研究函數問題的“基本套路”。在開始對特殊函數的研究中，需要教師遵循這個套路，并能適時歸納和總結。在后續對其他函數的研究中，這個先行組織者就能起到“導游圖”的作用，為將要學習的內容提供了一個框架或線索，使學生對學習進程心中有數，有助于學生完成后續內容的學習。
3．注意函數思想的滲透，用函數觀點統領相關內容
客觀世界的事物是運動變化的、相互制約的，相互之間既有聯系又有矛盾，從而推動著事物向前發展。這種關系在數學中集中反映在函數和函數思想上。在中學階段的數學教學要突出函數的內容，是數學家們長期實踐后得出的結論。克萊因在為中學數學教學起草的《米蘭大綱》（1905）中明確提出：“應將養成函數思想和空間觀察能力作為數學教學的基礎”；在其著作《高觀點下的初等數學》中，他進一步強調用近代數學的觀點來改造傳統的中學數學內容，主張加強函數和微積分的教學，改革和充實代數的內容。
函數描寫運動，刻畫一個變量隨著另一個變量的變化，給出一個數集到另一個數集的對應關系。變化與對應是函數思想的核心內容，而變量思想是函數思想的基礎。在數學思維的發展過程中，由“常量”到“變量”是一個質的轉變，發展學生對變量概念的理解需要一個較長的過程。這就要求教師在教學中要挖掘知識中蘊含的函數思想，有意識、有計劃、有目的地進行函數思想方法的培養，潛移默化地啟發學生領悟蘊含于數學知識之中的函數思想方法。
首先，在函數概念教學之前，需要提前滲透變化與對應的思想。在初中階段，由具體的數過渡到用字母表示數，再由字母過渡到代數式、方程及簡單的不等式等，都需要不斷滲透變量思想的教學，在“變”與“不變”的辯證思想教學中強化學生的變量意識。例如，在有理數的運算中，可以通過讓學生進行“對不同的數加上同一個數得到不同的結果”的練習，滲透集合、對應、根據法則由自變量求函數值；在進行“求代數式的值”的教學時，可以通過指出“字母每取一個值，代數式就有唯一確定的值”以及進行一些相應練習滲透對應的思想；通過討論整式、分式、根式中字母的取值范圍，可以滲透了函數的定義域；等等。這樣做，將靜態的知識模式演變為動態的討論，賦予了函數的形式，讓學生以運動的觀點去領會知識，這是發展函數思想的重要途徑。
其次，在進行函數內容教學時，要適時明確函數思想。在進行一般函數概念教學時，要把函數思想明確給學生，結合生活中函數關系的實例，使學生對函數中變化、對應的思想有初步理解，這是理性認識的開始。在進行具體初等函數教學時，要進一步充實函數思想的理論內容。這時，一方面要繼續結合具體函數概念的建立讓學生體會函數的變化對應的思想；另一方面要結合函數性質、函數圖象的教學，進一步提煉和介紹函數思想方法。
最后，要注意函數思想的應用，用函數思想看問題。數可以看成特殊函數；數的運算可以看成特殊的二元函數；代數式可以容易地被改造成一個函數；數列是特殊的函數；解一元方程就是求一個函數的零點，解三角形化歸為一個三角函數的問題；等等。因此，在學習函數概念后，要注意讓學生以函數觀點去重新審視相關問題。例如，方程f(x)=0就是函數y=f(x)在變化過程中的一個特殊狀態，解方程就是求函數的零點，從而對方程的研究（像根的性質、個數、分布范圍等）就與對應的函數性質研究聯系起來了。再如，求不等式(x)＞0的解集就是考察函數y=f(x)的圖象與x軸的位置關系問題，即考慮函數y=f(x)的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍。由于函數具有表現的豐富性、變化的過程性等特點，用函數觀點研究方程、不等式，可以引進運動變化、數形結合等思想，這就給方程和不等式的研究開拓了思路和方法．這對理解他們的意義和解決有關問題都是非常有益的。還可以使學生已有的認知結構得到重新組合，在使知識系統化的過程中，加深對函數思想的理解和運用。
