§4.1函數
一、學情分析
認知基礎：學生在七年級下冊第四章已學習了《變量之間的關系》，對變量間互相依存的關系有了一定的認識，但對于變量間的變化規律尚不明確，理解的很膚淺，也缺乏理論高度，另外本章在認知方式和思維深度上對學生有較高的要求，學生在理解和運用時會有一定的難度。
活動經驗基礎：在七年級下冊《變量之間的關系》一章中，學生接觸了大量的生活實例額，體會了變量之間相互依賴關系的普遍性，感受到了學習變量關系的必要性，初步具備了一定的識圖能力和主動參與、合作的意識和初步的觀察、分析、抽象概括的能力。
二、教學目標：
知識與技能目標：
（1）初步掌握函數概念，能判斷兩個變量之間的關系是否可以看作函數。
（2）根據兩個變量之間的關系式，給定其中一個變量的值相應的會求出另一個變量的值。
（3）會對一個具體實例進行概括抽象成為函數問題。
過程與方法目標：
（1）通過函數概念初步形成利用函數的觀點認識現實世界的意識和能力。
（2）經歷具體實例的抽象概括過程，進一步發展學生的抽象思維能力。
情感態度與價值觀目標：
（1）經歷函數概念的抽象概括過程，體會函數的模型思想。
（2）能主動從事觀察、操作、交流、歸納等探索活動，形成自己對數學知識的理解和有效的學習模式。
教學重點和難點
教學重點：
（1）掌握函數概念。
（2）會判斷兩個變量之間的關系是否可以看作函數。
（3）能把實際問題抽象概括成函數問題。
教學難點：
（1）理解函數的概念。
（2）能把實際問題抽象概括成函數問題。
三、教學過程設計：
（一）創設問題情境，導入新課
同學們你見過彈簧秤嗎？使用過嗎？你們打過吊針嗎？在上面的兩個情景中各個變量之間有著密切的聯系，數學上常用函數來刻畫變量之間的關系，那么函數是什么？用函數可以解決現實生活中的哪些問題？你想了解這些嗎？這節課我們就一起來學習函數。（板書課題：§4.1函數）
（二）共同探究，構建模型
問題一：游樂園中的摩天輪（如左下圖）
（1）如果你坐在摩天輪上，隨著時間的變化，你離開地面的高度是如何變化的？
右上圖反映了旋轉時間t（分）與摩天輪上一點的高度h（米）之間的關系。
（2）從圖象上，你能讀出哪些信息？
（3）對于給定的時間t，相應的高度h確定嗎？
根據右上圖進行填表：
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t/分 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
…… |
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h/米 |
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|
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|
（首先由學生分組討論完成，然后相互交流。）
問題二：圓柱形物體的堆放層數與物體總數的關系
罐頭盒等圓柱形的物體常常如下圖那樣堆放，隨著層數的增加，物體的總數是如何變化的？
填寫下表：
|
層數n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
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物體總數y |
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|
|
… |
問題三：熱力學溫度與攝氏溫度之間的關系
一定質量的氣體在體積不變時，假如溫度降低到–273℃,則氣體的壓強為零，因此，物理學中把–273℃作為熱力學溫度的零度。熱力學溫度T（K）與攝氏溫度t（℃）之間有如下數量關系：T=t+273，T≥0.
①當t分別為-43℃，-27℃，0℃，18℃時，相應的熱力學溫度T是多少？
②給定一個大于-273℃的t值，你能求出相應的T值嗎？
（由學生獨立完成，一個學生板演，然后相互交流，師生共同訂正。）
（三）議一議，形成概念
1、議一議
在上面我們研究了三個問題。下面大家探討一下，在這三個問題中的共同點是什么？不同點又是什么？
（相同點是：這三個問題中都研究了兩個變量。不同點是：在第一個問題中，是以圖象的形式表示兩個變量之間的關系；第二個問題中是以表格的形式表示兩個變量間的關系；第三個問題是以關系式來表示兩個變量間的關系的。）
通過對這三個問題的研究，明確“給定其中某一個變量的值，相應地就確定了另一個變量的值”這一共性。
2、函數的概念
在上面各例中，都有兩個變量，給定其中某一個變量的值，相應地就確定另一個變量的值。
一般地，在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。
歸納出函數概念后，留幾分鐘時間給學生消化理解概念，并提出自己的不理解的地方，教師再提出：
（1）上面問題中的自變量和因變量嗎？
（2）你能舉出生活中是函數的例子嗎？
（3）你是怎樣理解“確定”這兩個字的含義的？
學生分組討論，交流以后，教師點評。
理解函數概念應把握三點：
（1）一個變化過程；（2）兩個變量；（3）對于一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一的值與它對應，即是一種對應關系。判斷兩個量是否具有函數關系就以這三點為依據。
3、想一想
上述問題中，自變量能取哪些值？
（問題1中t≥0；問題2中自變量n＞0的整數；問題3中自變量t≥0.）
概念對于自變量在可取值范圍內的一個確定的值a，函數有唯一確定的對應值，這個對應值稱為當自變量等于a時的函數值。
（如：當t=-43時，T的值（230）叫做t=-43時的函數值。）
（四）操作演練，知識升華
1、指出下列變化關系中，哪些y是x的函數？那些不是？
①xy=2；②x2+y2=10；③x+y=5；④∣y∣=3x+1；⑤y=x2-4x+5
2、教材P77頁 隨堂練習
（五）歸納總結，加深理解
1、初步掌握函數的概念，能判斷兩個變量間的關系是否可看作函數。
2、在一個函數關系式中，給定自變量的值，能相應地會求出函數的值。
3、函數的三種表達式：
（1）圖象法；（2）表格法；（3）關系式（解析式或表達式）。
六、課后作業
習題4.1必做第1、2題，選作第3、4題
