3.2.1立體幾何中的向量方法（一）

一、學習目標

1.會求直線的方向向量與平面的法向量；

2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行與垂直關系；

3.會求直線和平面的夾角.

二、課前知多少

1. 若兩直線的方向向量分別是，則有若，則                          ；____________________________.

2．直線的方向向量：是指和這條直線所對應向量       的向量，顯然一條直線的方向向量可以有           ．

3．平面的法向量：是指所在的直線與平面    的向量，顯然一個平面的法向量有     個，它們是           向量．

三、合作探究  問題解決

問題1．直線的方向向量與平面的法向量在確定直線、平面平行與垂直關系中有什么作用？

（1）若兩直線的方向向量分別是，則有

             , 即______________；    _     , 即______________.

（2）若直線的方向向量為，平面的法向量為，則有

              , 即              ；     _   , 即              .

若，則                               .

_______________________________.[來源:學.科.網Z.X.X.K]

（3）若兩平面的法向量分別是則有

        _    , 即              ；         , 即             .

若，則                              .

______________________________.

例題1.正方體中， 分別是的中點.

求證：平面．

[來源:學科網]

問題3．怎樣求平面的法向量的坐標？

若要求出一個平面法向量的坐標，一般要建立坐標系，然后用待定系數法求解，一般步驟如下：

（1）設出平面的法向量為；

（2）找出平面內兩個不共線的向量的坐標；

（3）根據法向量的定義建立關于的方程組；

（4）解（3）中的方程組，取其中的一個解，即得一個法向量．

例題2.已知點，求平面的一個法向量．

[來源:學&科&網Z&X&X&K]

[來源:Z|xx|k.Com]

四、當堂檢測

1.設分別是直線的方向向量，根據下列條件判斷直線的位置關系：

（1）；__________________________________________；

（2）； ___________________________________________．

2.設分別是平面的法向量，根據下列條件判斷平面的位置關系：

（1）；____________________________________________；

（2）；___________________________________________．

3.正方體的邊長為4，分別是棱 的中點.求證：平面平面．

五、當天作業

1.已知，則（    ）

2.下列各組向量中不平行的是（     ）

3.若平面的法向量分別為，則（    ）

        相交但不垂直   以上均不正確

4. 設平面的法向量為，平面的法向量為，若，則等于（   ）

2          -4          4           -2

5.已知，則平面的一個單位法向量是（  ）

6.已知，且的方向向量，平面的法向量為，則=       

7.已知點和向量，，且，則點的坐標為_____．

8.在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點，求證：平面．