新函數的探究與知識體系與建構

新課標對數學知識的有關要求在“教學建議”中指出:數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會知識之間的關聯。

課標要求教師在教授數學知識的過程中，不僅要講授知識的實質，幫助學生理清楚相關知識的區別和聯系，還應當把知識的講授放在知識體系當中，讓學生注重知識的結構和體系，引導學生建立自身的知識結構體系。在掌握數學知識的過程中，學生不能死記硬背，應以理解為基礎，了解知識的形成過程，并在知識的應用中深化。

對于數學活動經驗的有關要求，新課標在“教學建議”中明確指出：數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志，幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果。

課標要求教師在積累數學活動經驗的過程中，要結合具體的教學內容，設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發展過程；學生需要在老師設計的“做”的過程和“思考”的過程中積淀，在數學活動中逐步的積累學習知識的經驗和思維的經驗。在數學活動中逐步的積累學習知識的經驗和思維的經驗。如15年北京中考26題就體現了這點。題目的四個問題是這樣設計的：1.求自變量的取值范圍；2.補全列表；3.根據描出的點畫出函數圖像；4.結合函數圖象寫出該函數的一條性質。這四個問題再現了學生學習函數的過程。

學生在初中階段學習一次函數、二次函數、反比例函數的過程中，都經歷了“由現實問題抽象為數學模型—函數，研究函數自變量的取值范圍，列表，描點，畫出函數的圖象，根據函數圖象研究函數的性質，利用函數解決實際問題”的過程。在考題的設計下，學生將關注點由靜態的知識轉向到了動態的知識形成過程，強化了學生對數學本質的理解和數學思想方法的考查，積累了學習知識的經驗和思維的經驗。

在中考指揮棒的引導下，教師們也越來越注重了對知識的形成過程的設計考查，學生們也注重了知識結構體系的自我建構。如本題中要求學生設計方案，探究一個新函數的性質。這樣的問題將簡單的看、畫等經驗性的模仿操作，通過思維的深化，上升為研究方法的提煉與梳理。在學生有效的設計方案的過程中，就落實了研究函數的一般步驟和方法，在設計問題的過程中，也認識了函數知識板塊的整體性和各類函數學習之間的共性和區別。我們還可以設計更加開放型的問題，給學生更多的時間和空間。開放性的問題設計，重在考查學生對函數知識更深層次的理解，它給予了學生較大的認知空間。本題將活動經驗與思維經驗的積累轉化為了方案的設計與實施，也培養學生的創新意識，讓學生建立起自己的知識結構框架和思維經驗框架。

其實對于函數的研究，不應僅僅停留在對函數性質的研究，還應該將知識的講授放在知識體系當中，讓學生注重知識的結構和體系，引導學生建立自身的知識結構體系。如海淀區15年期末的自命題，這道題設計的核心問題是用函數觀點看方程的解（不等式的解集）。命題的這種設計是站在更高的起點上的一種動態分析，用函數把所學的數學模型有機地結合和統一起來。揭示了不同數學模型間的內在聯系，有利于學生從整體上把握數學知識之間的聯系，體會數學知識、研究方法的發展過程，進而提高學生的數學素養。

揭示內在聯系，建構知識網絡是數學教學的重要原則，是提高數學教學質量的必要舉措，整體把握知識之間的內在聯系，建構知識網絡，不僅能深化對每個部分的理解和應用，而且能從中提煉數學思想、提升能力水平。這樣的學習方式，不僅有助于掌握知識、技能和方法，提高學習效率，而且加深了對數學中通性通法的認識，提升學習數學和研究的規律，提升數學的思維能力。這樣的數學教學要求，也充分體現了“能獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式”的目標要求。