2  圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征

年級(jí)：高二： 學(xué)科：數(shù)學(xué)  教材：必修2  執(zhí)筆：   審核： 

學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）感知并認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征，初步形成空間觀念；

（2）了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的概念，能畫(huà)出圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的示意圖；

（3）能用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的辨證關(guān)系．

學(xué)習(xí)重點(diǎn)

圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征和有關(guān)概念．

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征．

學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

  1．預(yù)習(xí)教材的內(nèi)容，寫(xiě)下疑惑摘要：

2．圓柱的母線長(zhǎng)為5，底面圓的周長(zhǎng)為，則形成這個(gè)圓柱的矩形面積是

  5  ．

3．圓錐的母線與軸的夾角為，母線長(zhǎng)為，則圓錐底面面積為．

4．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，兩底面半徑分別為、，則圓臺(tái)的高為  4   ．

二、新課導(dǎo)學(xué)

（一）探究活動(dòng)

1．觀察這些幾何體，它們有什么共同特點(diǎn)或生成規(guī)律？

2．以  矩形的一邊   所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，   其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成  的幾何體，叫做圓柱；  旋轉(zhuǎn)軸  叫做圓柱的軸，  垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面  叫做圓柱的底面，  平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面  叫做圓柱的側(cè)面，無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置， 不垂直于軸的邊   都叫做圓柱的母線．

3．以  直角三角形的一條直角邊   所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，   其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成  的幾何體，叫做圓錐；  旋轉(zhuǎn)軸  叫做圓錐的軸，  垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面  叫做圓錐的底面，  斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面  叫做圓錐的側(cè)面，無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，  斜邊   都叫做圓錐的母線．

4．用  平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面與底面之間的幾何體  叫做圓臺(tái)．

5．如果用形成圓柱和圓錐的方式，如何形成圓臺(tái)？

以  直角梯形的垂直于兩底邊腰   所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，   其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成  的幾何體，叫做圓臺(tái)；  旋轉(zhuǎn)軸  叫做圓柱的軸，  垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面  叫做圓臺(tái)的底面，  不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面  叫做圓臺(tái)的側(cè)面，無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置， 不垂直于軸的邊   都叫做圓臺(tái)的母線．

6．以  半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體  叫做球體，簡(jiǎn)稱為球．

  半圓的圓心  叫做球的球心， 半圓的半徑 叫做球的半徑， 半圓的直徑  叫做球的直徑．

7．圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球統(tǒng)稱為旋轉(zhuǎn)體，旋轉(zhuǎn)體的經(jīng)過(guò)軸的截面叫做軸截面．

（二） 典型例題

【例1】下列命題正確的是    （  C  ）

     A．直角三角形圍繞一邊旋轉(zhuǎn)而成的幾何體是圓錐

     B．用一個(gè)平面截圓柱，截面一定是圓面

     C．圓錐截去一個(gè)小圓錐后，剩下來(lái)的是一個(gè)圓臺(tái)

     D．通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條母線

解：只有圍繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成的才是圓錐，（思考：圍繞斜邊旋轉(zhuǎn)而成的是什么？），故A錯(cuò)誤．當(dāng)截面與圓柱底面平行時(shí)，截面是圓面，不平行時(shí)，不是圓面（思考：會(huì)是什么形狀？），故B錯(cuò)誤．因?yàn)榻厝サ氖切A錐，所以截面與圓錐底面平行，所以剩下來(lái)的是圓臺(tái)，故C正確．通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)有且只有一條母線，故D錯(cuò)誤．

小結(jié)：熟悉圓柱、圓錐和圓臺(tái)的形成過(guò)程，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

【例2】用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1：16，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，求圓臺(tái)的母線長(zhǎng)．

解：設(shè)圓臺(tái)的母線為，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，．

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，，解得．

所以，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm．

小結(jié)：用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)（與底面全等或相似），同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的軸截面（經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面）的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而解得.

*【例3】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為l，高為，過(guò)圓錐的兩條母線作一個(gè)截面，求截面面積的最大值．  

解：設(shè)兩母線的夾角為，因?yàn)檫^(guò)圓錐的兩條母線所作的截面是等腰三角形，所以，截面面積為，當(dāng)時(shí)，有最大值．

*【變式】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為l，軸截面頂角為，過(guò)圓錐的兩條母線作一個(gè)截面，試討論截面面積的最大值．

解：設(shè)兩母線的夾角為，則截面的面積為，

當(dāng)時(shí)，，截面面積的最大值為，此時(shí)軸截面是最大截面；

當(dāng)，，即，截面面積的最大值為，此時(shí)，軸截面面積不是最大面積．

小結(jié)： ①誤區(qū)：以為軸截面面積最大；②以三角函數(shù)的觀點(diǎn)解題．

（三） 總結(jié)提升

1．學(xué)習(xí)小結(jié)

2．知識(shí)拓展

類比棱柱、棱錐、棱臺(tái)的生成過(guò)程，認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．

如何實(shí)現(xiàn)從棱柱到棱錐的轉(zhuǎn)化： 上底面縮小，棱柱變?yōu)槔馀_(tái)，當(dāng)上底面縮為一點(diǎn)時(shí)，棱臺(tái)變?yōu)?/span>

棱錐．

如何實(shí)現(xiàn)從圓柱到圓錐的轉(zhuǎn)化： 上底面縮小，圓柱變?yōu)閳A臺(tái)，當(dāng)上底面縮為一點(diǎn)時(shí)，圓臺(tái)變?yōu)?/span>

圓錐．

三 反饋練習(xí)

1．判斷題

（1）在圓柱的上下底面上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線．  （  錯(cuò) ）

（2）圓臺(tái)所有的軸截面是全等的等腰梯形． （  對(duì)  ）

*（3）與圓錐的軸平行的截面是等腰三角形． （  錯(cuò)  ）

*（4）球面作為旋轉(zhuǎn)面，只有一條旋轉(zhuǎn)軸，沒(méi)有母線．             （  錯(cuò)  ）

2．選擇題

（1）的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，繞其中一邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓錐，下面的描述不正確的是（  C ）

    A．是底面半徑為3的圓錐           B．是底面半徑為4的圓錐

    C．是底面半徑為5的圓錐           D．是母線長(zhǎng)為5的圓錐

（2）下列說(shuō)法中正確的是（  D  ）

    A．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐

    B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

    C．圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的底面圓的半徑

    D．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面

*（3）下列說(shuō)法正確的是（  A  ）

    A．過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形  

 B．平行于圓臺(tái)某一母線的截面是等腰梯形

    C．平行于圓錐某一母線的截面是等腰三角形           

    D．過(guò)圓臺(tái)上底面中心的截面是等腰梯形

3．填空題

（1）以邊長(zhǎng)分別為6、8、10的三角形的外接圓直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸將這個(gè)外接圓旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是  球   ；其半徑是  5   ．

（2）用一張６×８的矩形紙卷成一個(gè)圓柱，其軸截面的面積為． 

（3）圓臺(tái)的上下底面的直徑分別為，，  高為，則圓臺(tái)母線長(zhǎng)為．

4．動(dòng)動(dòng)手：找一張正方形的紙，通過(guò)折或卷或切割后再折的方式，能否做成正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐、圓臺(tái)（可以是封閉的，也可以是不封閉的）？請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?/span>

四 教后反思