2  圓柱、圓錐、圓臺和球的結構特征

年級：高二： 學科：數學  教材：必修2  執筆：   審核： 

學習目標

（1）感知并認識圓柱、圓錐、圓臺和球的結構特征，初步形成空間觀念；

（2）了解圓柱、圓錐、圓臺和球的概念，能畫出圓柱、圓錐、圓臺和球的示意圖；

（3）能用運動變化的觀點認識圓柱、圓錐、圓臺和球的辨證關系．

學習重點

圓柱、圓錐、圓臺和球的結構特征和有關概念．

學習難點：

圓柱、圓錐、圓臺和球的結構特征．

學習過程

一、課前準備

  1．預習教材的內容，寫下疑惑摘要：

2．圓柱的母線長為5，底面圓的周長為，則形成這個圓柱的矩形面積是

  5  ．

3．圓錐的母線與軸的夾角為，母線長為，則圓錐底面面積為．

4．圓臺的母線長為，兩底面半徑分別為、，則圓臺的高為  4   ．

二、新課導學

（一）探究活動

1．觀察這些幾何體，它們有什么共同特點或生成規律？

2．以  矩形的一邊   所在的直線為旋轉軸，   其余三邊旋轉形成的曲面所圍成  的幾何體，叫做圓柱；  旋轉軸  叫做圓柱的軸，  垂直于軸的邊旋轉而成的圓面  叫做圓柱的底面，  平行于軸的邊旋轉而成的曲面  叫做圓柱的側面，無論旋轉到什么位置， 不垂直于軸的邊   都叫做圓柱的母線．

3．以  直角三角形的一條直角邊   所在的直線為旋轉軸，   其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成  的幾何體，叫做圓錐；  旋轉軸  叫做圓錐的軸，  垂直于軸的邊旋轉而成的圓面  叫做圓錐的底面，  斜邊旋轉而成的曲面  叫做圓錐的側面，無論旋轉到什么位置，  斜邊   都叫做圓錐的母線．

4．用  平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面與底面之間的幾何體  叫做圓臺．

5．如果用形成圓柱和圓錐的方式，如何形成圓臺？

以  直角梯形的垂直于兩底邊腰   所在的直線為旋轉軸，   其余三邊旋轉形成的曲面所圍成  的幾何體，叫做圓臺；  旋轉軸  叫做圓柱的軸，  垂直于軸的邊旋轉而成的圓面  叫做圓臺的底面，  不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面  叫做圓臺的側面，無論旋轉到什么位置， 不垂直于軸的邊   都叫做圓臺的母線．

6．以  半圓的直徑所在的直線為旋轉軸旋轉一周所得到的幾何體  叫做球體，簡稱為球．

  半圓的圓心  叫做球的球心， 半圓的半徑 叫做球的半徑， 半圓的直徑  叫做球的直徑．

7．圓柱、圓錐、圓臺和球統稱為旋轉體，旋轉體的經過軸的截面叫做軸截面．

（二） 典型例題

【例1】下列命題正確的是    （  C  ）

     A．直角三角形圍繞一邊旋轉而成的幾何體是圓錐

     B．用一個平面截圓柱，截面一定是圓面

     C．圓錐截去一個小圓錐后，剩下來的是一個圓臺

     D．通過圓臺側面上一點有無數條母線

解：只有圍繞直角邊旋轉而成的才是圓錐，（思考：圍繞斜邊旋轉而成的是什么？），故A錯誤．當截面與圓柱底面平行時，截面是圓面，不平行時，不是圓面（思考：會是什么形狀？），故B錯誤．因為截去的是小圓錐，所以截面與圓錐底面平行，所以剩下來的是圓臺，故C正確．通過圓臺側面上一點有且只有一條母線，故D錯誤．

小結：熟悉圓柱、圓錐和圓臺的形成過程，是解決問題的關鍵．

【例2】用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1：16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺的母線長．

解：設圓臺的母線為，截得圓臺的上、下底面半徑分別為，．

根據相似三角形的性質得，，解得．

所以，圓臺的母線長為9cm．

小結：用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質（與底面全等或相似），同時結合旋轉體中的軸截面（經過旋轉軸的截面）的幾何性質，利用相似三角形中的相似比，構設相關幾何變量的方程組而解得.

*【例3】設圓錐母線長為l，高為，過圓錐的兩條母線作一個截面，求截面面積的最大值．  

解：設兩母線的夾角為，因為過圓錐的兩條母線所作的截面是等腰三角形，所以，截面面積為，當時，有最大值．

*【變式】設圓錐母線長為l，軸截面頂角為，過圓錐的兩條母線作一個截面，試討論截面面積的最大值．

解：設兩母線的夾角為，則截面的面積為，

當時，，截面面積的最大值為，此時軸截面是最大截面；

當，，即，截面面積的最大值為，此時，軸截面面積不是最大面積．

小結： ①誤區：以為軸截面面積最大；②以三角函數的觀點解題．

（三） 總結提升

1．學習小結

2．知識拓展

類比棱柱、棱錐、棱臺的生成過程，認識圓柱、圓錐、圓臺的結構特征．

如何實現從棱柱到棱錐的轉化： 上底面縮小，棱柱變為棱臺，當上底面縮為一點時，棱臺變為

棱錐．

如何實現從圓柱到圓錐的轉化： 上底面縮小，圓柱變為圓臺，當上底面縮為一點時，圓臺變為

圓錐．

三 反饋練習

1．判斷題

（1）在圓柱的上下底面上各取一點，這兩點的連線是圓柱的母線．  （  錯 ）

（2）圓臺所有的軸截面是全等的等腰梯形． （  對  ）

*（3）與圓錐的軸平行的截面是等腰三角形． （  錯  ）

*（4）球面作為旋轉面，只有一條旋轉軸，沒有母線．             （  錯  ）

2．選擇題

（1）的三邊長分別為3、4、5，繞其中一邊旋轉成一個圓錐，下面的描述不正確的是（  C ）

    A．是底面半徑為3的圓錐           B．是底面半徑為4的圓錐

    C．是底面半徑為5的圓錐           D．是母線長為5的圓錐

（2）下列說法中正確的是（  D  ）

    A．以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐

    B．以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的旋轉體是圓臺

    C．圓錐側面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的底面圓的半徑

    D．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面

*（3）下列說法正確的是（  A  ）

    A．過圓錐頂點的截面是等腰三角形  

 B．平行于圓臺某一母線的截面是等腰梯形

    C．平行于圓錐某一母線的截面是等腰三角形           

    D．過圓臺上底面中心的截面是等腰梯形

3．填空題

（1）以邊長分別為6、8、10的三角形的外接圓直徑所在的直線為旋轉軸將這個外接圓旋轉得到的幾何體是  球   ；其半徑是  5   ．

（2）用一張６×８的矩形紙卷成一個圓柱，其軸截面的面積為． 

（3）圓臺的上下底面的直徑分別為，，  高為，則圓臺母線長為．

4．動動手：找一張正方形的紙，通過折或卷或切割后再折的方式，能否做成正方體、長方體、圓柱、圓錐、圓臺（可以是封閉的，也可以是不封閉的）？請試一試．

四 教后反思