靈活應對線性規劃的問題
銀川外國語實驗中學 于晶
【關鍵詞】線性規劃 構造 目標函數
【摘要】線性規劃是近幾年高中教材的新增內容，也是今后學習的必要環節，因為應用它可以更好的解決生活中的很多關于生產利潤最大以及材料最省等問題，也是高中數形結合思想方法的一個更好的體現，正因為如此，所以線性規劃已作為數學教學中一個必考項目，通過一組數據可以很直觀看出它的的地位，僅僅統計07，08年兩年高考全國18個省市36份試卷，“線性規劃”就考查了24次，其中大部分作為填空題出現。
鑒于此，我們很有必要讓學生深刻理解掌握線性規劃的內容，應用與實際生活中，作為高考應試，也很有必要讓學生把此內容系統掌握，因而，筆者聯系自己的教學實踐，并從精選一些有代表性的試題，多角度分析說明。具體有以下兩個方面。
一、利用線性規劃解決實際應用問題
問題：本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告費標準分別分500元/分鐘和200元/分鐘，規定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的廣告每分鐘能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元，問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元。
[分析】應用線性規劃求解實際問題的步驟；
從已知條件中建立數學模型; 1、設出所求的未知量；2、列出約束條件，（即不等式）3、建立目標函數；4、做出可行域，運用圖解法求最優解，
解，設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告時間分別為x分鐘,y分鐘，總收益為z,由題意可得
目標函數為 z=3000x+2000y,二元一次不等式組等價于
作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域如果作直線L;3000x+2000y=0,即
3x+2y=0,從圖可知當直線L;過M點時，目標函數取最大值，聯立
解得 X=100,Y=200的點M坐標為（100，200）
∴
=3000×100+2000×200=700000
答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200時，該公司收益最大，且最大為70萬元。
二、線性規劃中幾種目標函數及解法
這類問題一般典型題法就是： 一個目標，一組條件，典型解法是幾何代數并用，即根據條件畫出區域，應用圖解法來解決問題，因目標函數不同所以解決的思路在具體問題中就有各自的差異，下面筆者就結合具體題型來作以強化說明，
【題型1】：對于目標函數是z=ax+by或者直接給出ax+by這樣類型的問題說求它的最大值或最小值問題，如是ax+by的形式，則先設Z=ax+by
解法一（截距法）
將Z=ax+by變形為
將
看作是直線在y軸上的截距，問題就轉化為縱坐標截距的取值范圍或最值問題，若b為負數，
則求Z的最大值或最小值問題，則求的就是直線截距相反。
【例1】已知實數x,y滿足 
則2x+y的最小值
解法（截距法）
先畫出約束條件限定的可行域（如圖陰影部分所示）
設z=2x+y然后化為y=-2x+z的形式，將問題轉化為求平行于直線y=-2x的直線族在y軸上的截距z的取值范圍;由上圖可知當直線經過點A(1,2)時，直線在y軸上的截距有最小值為4。
例1對于目標函數z=2x+y 已知實數x,y滿足 條件求z的最小值。
解：作出可行域.設N(x,y)為可行域內任意一點，與已知點M(2,1)則
，由數量積的幾何意義可知當N(x,y)在點A(1,2)時，
【題型2】對于形如型目標式。
在線性規劃中，對于形如可先設為的Z=的目標函數，均可化為求可行內的點（x,y)與點（A,B)間的距離的平方的最值問題，然后計算可以求解。
變式例2對于上面的例就有已知實數x, 滿足
則
的最小值及最大值
解，先畫出滿足不等式組所表示的可行域，如圖陰影部分所示。 將目標函數設z,轉化為
，問題轉化為求可行域內的點（x,y)與原點O(0,0)的最小距離的平方的值。
顯然，原點到B點的距離最大，到C點的距離最小，由
解得B點（3，4）
可以
,
【題型3】
形如的目標式，在線性規劃中，可先設
的目標函數，可先變式為的形式，講問題轉化為可行域內的點（x,y)與點
連線斜率的
倍的范圍或最值問題，問題從而得以解決，
變式例3 就上面的問題實數已知實數x, 滿足則
的最值，
解，先畫出滿足不等式組所表示的可行域，如圖陰影部分，
設
即有
問題的轉化為求可行域內的點M（X,Y)與原點O(0,0)的連線斜率的最大值和最小值問題，（或由得
可以知道是過原點的直線，可求直線的最大最小） 所以
【題型4】 形如
型的目標函數
在線性規劃中，形如Z=
型的目標函數，可將其轉化為
的形式，將轉化為求可行域內的點（x,y）到直線
距離的
倍的最值。
變式例4，對于實數x,y滿足條件
則求
的最大值。
解，可畫出不等式組所表示的可行域。
將目標函數可化為
問題轉化為求可行域內的點（x,y）到直線
的距離的
倍最大值。觀察可知點B到直線的距離最大。∴ 
=12
