一、對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)

“數(shù)學(xué)思想方法”一詞，在數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域已被廣泛使用。對(duì)于什么是數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者有諸多論述。概括起來(lái)，大家通常是從“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”兩個(gè)角度進(jìn)行闡述的。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容（如概念、命題、規(guī)律）和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出來(lái)的基本觀點(diǎn)和根本想法，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)具有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動(dòng)中所采用的各種方式、手段途徑、策略等。

數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的三個(gè)層次，它們相互聯(lián)系，協(xié)同發(fā)展。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題所依附的材料；數(shù)學(xué)方法是解決問(wèn)題的途徑、手段，是數(shù)學(xué)思想發(fā)展的前提；數(shù)學(xué)思想是一類數(shù)學(xué)方法本質(zhì)特征的反映，是數(shù)學(xué)方法的靈魂。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的，通常，在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想時(shí)稱數(shù)學(xué)思想，在強(qiáng)調(diào)具體操作過(guò)程時(shí)則稱數(shù)學(xué)方法。

對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者的表述也不盡相同。概括起來(lái)，可以分為兩類。一類是科學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，如分類討論、分析與綜合、歸納與演繹、類比、化歸思想等；另一類是數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思想方法，如符號(hào)與變?cè)硎尽⒛Ｐ突?、集合與對(duì)應(yīng)、公理化與結(jié)構(gòu)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、極限、算法與程序化、概率統(tǒng)計(jì)的思想方法等等。

數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟能使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)不再是零散的知識(shí)點(diǎn)，它能幫助學(xué)生形成有序的知識(shí)鏈，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；它是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和文化，是使學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維水平，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，從而發(fā)展數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的保證。因此必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)可分為三個(gè)層次：滲透、介紹和突出。滲透，就是要在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，融進(jìn)某些抽象的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生對(duì)這些思想方法有一些初步的感覺(jué)或直覺(jué)。例如，對(duì)于集合與對(duì)應(yīng)、公理化與結(jié)構(gòu)化、極限、算法與程序化的思想方法等。介紹，就是要把某些數(shù)學(xué)思想方法在適當(dāng)時(shí)候引進(jìn)到數(shù)學(xué)知識(shí)中，使學(xué)生對(duì)這些思想方法由初步的理解，有一定的理性認(rèn)識(shí)。例如，對(duì)符號(hào)與變?cè)硎尽⒛Ｐ突?、?shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、概率統(tǒng)計(jì)、分類、化歸的思想方法等。突出，就是要在介紹的基礎(chǔ)上經(jīng)常性地予以強(qiáng)調(diào)，使學(xué)生能加以運(yùn)用。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要突出的有數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸的思想方法等。當(dāng)然，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的不斷深入，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的要求也是不斷深入的。例如算法的思想方法在初中階段可以結(jié)合解方程（組）等進(jìn)行“滲透”，到了高中就要求是“介紹”甚至“突出”的層次了。

二、做好內(nèi)容解析，析出教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

除“核心概念”外，“思想方法”也是本課題研究的重點(diǎn)內(nèi)容，數(shù)學(xué)思想方法具有隱喻性的特點(diǎn)，它隱于知識(shí)內(nèi)部，要經(jīng)過(guò)反復(fù)體驗(yàn)才能領(lǐng)悟和運(yùn)用。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，首先需要從對(duì)教學(xué)內(nèi)容的分析入手，析出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。課題組的教學(xué)設(shè)計(jì)框架中第一條就是“內(nèi)容和內(nèi)容解析”，其用意不僅是要在揭示概念內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，說(shuō)明概念的核心，對(duì)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位進(jìn)行分析，還要求對(duì)其中隱含的數(shù)學(xué)思想方法做出明確表述。這就要求我們要理解教學(xué)內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法。

1．“二元一次方程祖的解法”教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法分析。

在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了一元一次方程，那時(shí)要解的是含有一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程。對(duì)于“如何解由含有多個(gè)未知數(shù)的多個(gè)方程組成的方程組”的新問(wèn)題，自然可以聯(lián)想到相關(guān)的“解含有一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程”的老問(wèn)題，這是非常自然的思考方法。怎樣解決新問(wèn)題呢？首先就是要設(shè)法把復(fù)雜的新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為老問(wèn)題形式，這就是化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化陌生為熟悉、化困難為容易的化歸思想。這里將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為老問(wèn)題就是要將含多個(gè)未知數(shù)的多個(gè)方程，轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，先求出一個(gè)未知數(shù)，再逐步擴(kuò)大戰(zhàn)果，求出其余未知數(shù)。這也是非常自然的思考方法，這種“將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決”的思想就是消元思想。確立了解決問(wèn)題的思路，接下來(lái)就是如何實(shí)現(xiàn)消元了，也就產(chǎn)生了代入與加減兩種消元的方法。而為了實(shí)現(xiàn)“代入”與“加減”，還需要具體的代數(shù)的恒等變換的方法。

“消元——二元一次方程組的解法”的教學(xué)中蘊(yùn)含的思想方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的層次性的特點(diǎn)，這種層次也反映了對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識(shí)的概括程度的高低。這里，化歸是第一個(gè)層次，消元是第二個(gè)層次，代入和加減是第三個(gè)層次，恒等變換是第四個(gè)層次。從培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和方法的角度看，本節(jié)課的教學(xué)不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用代入法或加減法解二元一次方程組，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生和理解消元思想，體會(huì)解決新問(wèn)題的過(guò)程（化歸）。消元是學(xué)生自覺(jué)地、主動(dòng)地理解和掌握代入法、加減法等具體解法的基礎(chǔ)，也是避免死記硬背解法程序的關(guān)鍵。