一、對數學思想方法的認識

“數學思想方法”一詞，在數學教育、數學教學領域已被廣泛使用。對于什么是數學思想方法，數學家和數學教育工作者有諸多論述。概括起來，大家通常是從“數學思想”和“數學方法”兩個角度進行闡述的。數學思想是對數學對象的本質認識，是從某些具體的數學內容（如概念、命題、規律）和數學認識過程中提煉出來的基本觀點和根本想法，對數學活動具有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。數學方法是指數學活動中所采用的各種方式、手段途徑、策略等。

數學知識、數學方法、數學思想是數學知識體系的三個層次，它們相互聯系，協同發展。數學知識是數學思想方法解決問題所依附的材料；數學方法是解決問題的途徑、手段，是數學思想發展的前提；數學思想是一類數學方法本質特征的反映，是數學方法的靈魂。數學思想和數學方法是緊密聯系的，通常，在強調數學活動的指導思想時稱數學思想，在強調具體操作過程時則稱數學方法。

對于中學數學中常用的數學思想方法，數學家和數學教育工作者的表述也不盡相同。概括起來，可以分為兩類。一類是科學思想在數學中的應用，如分類討論、分析與綜合、歸納與演繹、類比、化歸思想等；另一類是數學學科特有的思想方法，如符號與變元表示、模型化、集合與對應、公理化與結構化、數形結合、函數與方程、極限、算法與程序化、概率統計的思想方法等等。

數學思想方法的學習和領悟能使學生所學的知識不再是零散的知識點，它能幫助學生形成有序的知識鏈，建立良好的認知結構；它是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數學觀點和文化，是使學生提高數學思維水平，建立科學的數學觀念，從而發展數學、運用數學的保證。因此必須重視數學思想方法的教學。在初中數學教學中，數學思想方法的教學可分為三個層次：滲透、介紹和突出。滲透，就是要在具體的數學知識的教學中，融進某些抽象的數學思想方法，使學生對這些思想方法有一些初步的感覺或直覺。例如，對于集合與對應、公理化與結構化、極限、算法與程序化的思想方法等。介紹，就是要把某些數學思想方法在適當時候引進到數學知識中，使學生對這些思想方法由初步的理解，有一定的理性認識。例如，對符號與變元表示、模型化、數形結合、函數與方程、概率統計、分類、化歸的思想方法等。突出，就是要在介紹的基礎上經常性地予以強調，使學生能加以運用。初中數學教學中要突出的有數形結合、函數與方程、化歸的思想方法等。當然，隨著學生學習的不斷深入，對數學思想方法的要求也是不斷深入的。例如算法的思想方法在初中階段可以結合解方程（組）等進行“滲透”，到了高中就要求是“介紹”甚至“突出”的層次了。

二、做好內容解析，析出教學內容蘊含的數學思想方法

除“核心概念”外，“思想方法”也是本課題研究的重點內容，數學思想方法具有隱喻性的特點，它隱于知識內部，要經過反復體驗才能領悟和運用。數學思想方法的教學，首先需要從對教學內容的分析入手，析出其中蘊含的數學思想方法。課題組的教學設計框架中第一條就是“內容和內容解析”，其用意不僅是要在揭示概念內涵的基礎上，說明概念的核心，對概念在中學數學中的地位進行分析，還要求對其中隱含的數學思想方法做出明確表述。這就要求我們要理解教學內容所反映的數學思想方法。

1．“二元一次方程祖的解法”教學中的數學思想方法分析。

在學習這部分內容之前，學生已學習了一元一次方程，那時要解的是含有一個未知數的一個方程。對于“如何解由含有多個未知數的多個方程組成的方程組”的新問題，自然可以聯想到相關的“解含有一個未知數的一元一次方程”的老問題，這是非常自然的思考方法。怎樣解決新問題呢？首先就是要設法把復雜的新問題轉化為老問題形式，這就是化未知為已知、化復雜為簡單、化陌生為熟悉、化困難為容易的化歸思想。這里將新問題轉化為老問題就是要將含多個未知數的多個方程，轉化為含有一個未知數的一個方程，先求出一個未知數，再逐步擴大戰果，求出其余未知數。這也是非常自然的思考方法，這種“將未知數的個數由多化少、逐一解決”的思想就是消元思想。確立了解決問題的思路，接下來就是如何實現消元了，也就產生了代入與加減兩種消元的方法。而為了實現“代入”與“加減”，還需要具體的代數的恒等變換的方法。

“消元——二元一次方程組的解法”的教學中蘊含的思想方法體現了數學思想方法的層次性的特點，這種層次也反映了對數學內容本質的認識的概括程度的高低。這里，化歸是第一個層次，消元是第二個層次，代入和加減是第三個層次，恒等變換是第四個層次。從培養學生良好的思維習慣和方法的角度看，本節課的教學不僅要讓學生學會用代入法或加減法解二元一次方程組，更重要的是要引導學生產生和理解消元思想，體會解決新問題的過程（化歸）。消元是學生自覺地、主動地理解和掌握代入法、加減法等具體解法的基礎，也是避免死記硬背解法程序的關鍵。