§2.2.3向量數乘運算及其幾何意義導學案

【教學目標】

1. 通過實例理解并掌握向量數乘的定義、運算性質及其幾何意義；

2. 理解向量共線的含義，并能用向量共線的條件解決簡單幾何問題；

3. 掌握向量數乘的運算律.

【教學重難點】

重點：向量數乘運算及其幾何意義、運算律、共線向量定理；

難點：共線向量定理及其應用.

【學習新知】

合作探究：（預習教材P87—P90）

探究1：向量數乘運算與幾何意義

問題1：已知非零向量a，作出圖形：①a+a+a；②-a+(-a)+(-a).   

 

 

 

由此可以看出：

a+a+a即3a與向量a的方向相_________，長度為向量a的_________倍；

-a+(-a)+(-a)即-3a與向量a方向相________，長度為向量a的_________倍。

 

 

小組討論下列思考題：

思考1：通過作出的圖形，能否說出它們的幾何意義？  

思考2：實數與向量能否進行加減運算？實數與向量相乘的結果是實數還是向量？

思考3：λa與a的大小和方向有什么關系？

思考4：λa=0的條件是什么？

 

 

 

結論：向量數乘的結果為一個_________，其模等于這個實數的_________與這個向量_________的乘積，其方向與_________的正負有關.

 

向量數乘：一般地，我們規定___________________是一個向量，這種運算稱做向量的數乘記作___________，它的長度與方向規定如下：

（1）長度：___________=___________________________________;

（2）方向：當_________時，λa的方向與a的方向相同；當_______時，λa的方向與a方向相反，當_________時，λa=0.

問題2：向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算. 向量數乘運算律：設λ,u為實數，

（1）_______；  （2）_________；  （3）_________；

（4）________=___________；     （5）______________；

（6）對于任意向量,，任意實數恒有=_______________.

例1. 計算：

(1)-7*6a

(2)4(a+b)-3(a-b)-8a

問題思考：實數運算中去括號、移項、合并同類項、提公因式等變形手段在數與向量的乘積中仍適用嗎？

 

 

 

問題3：引入向量數乘運算后，你能發現數乘向量與原向量之間有什么位置關系？

觀察如圖所示內容，回答下列問題：

 

    兩個向量共線（平行）的等價條件：如果共線，那么__________________________。

思考5：在向量共線的條件中，若向量a=0，則該定理是否成立？

思考6：根據向量共線的條件，對于非零向量a，b，如何確定實數λ，使b=λa？

       

 

例2. 已知兩個兩個向量a和b不共線，AB=a-b，BC=2a-8b，CD=3a+3b，求證：A、B、D三點共線.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3. 如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，且AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AM、BM、CM、DM嗎？