1.1.2 四種命題

1．1.3 四種命題間的相互關系

 

 

【問題導思】 

給出以下四個命題：

(1)對頂角相等；

(2)相等的兩個角是對頂角；

(3)不是對頂角的兩個角不相等；

(4)不相等的兩個角不是對頂角；

1．你能說出命題(1)與(2)的條件與結論有什么關系嗎？

【提示】 它們的條件和結論恰好互換了．

2．命題(1)與(3)的條件與結論有什么關系？命題(1)與(4)呢？

【提示】 命題(1)的條件與結論恰好是命題(3)條件的否定和結論的否定．命題(1)的條件和結論恰好是命題(4)結論的否定和條件的否定．

一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件與結論分別是另一個命題的結論和條件，那么把這兩個命題叫做互逆命題，如果是另一個命題條件的否定和結論的否定，那么把兩個命題叫做互否命題．如果是另一個命題結論的否定和條件的否定，那么把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．把第一個叫做原命題時，另三個可分別稱為原命題的逆命題、否命題、逆否命題．

 

【問題導思】 

1．為了書寫方便常把p與q的否定分別記作“綈p”和“綈q”，如果原命題是“若p，則q”，那么它的逆命題，否命題，逆否命題該如何表示？

【提示】 逆命題：若q，則p.

否命題：若綈p，則綈q.

逆否命題：若綈q，則綈p.

2．原命題的否命題與原命題的逆否命題之間是什么關系？原命題的逆命題與其逆否命題之間是什么關系？原命題的逆命題與其否命題呢？

【提示】 互逆、互否、互為逆否．

 四種命題的相互關系

 

【問題導思】 

1．知識1的“問題導思”中四個命題的真假性是怎樣的？

【提示】 (1)真命題，(2)假命題，(3)假命題，(4)真命題．

2．如果原命題是真命題，它的逆命題是真命題嗎？它的逆否命題呢？

【提示】 原命題為真，其逆命題不一定為真，但其逆否命題一定為真．

1．在原命題的逆命題、否命題、逆否命題中，一定與原命題真假性相同的是逆否命題．

2．兩個命題互為逆命題或互為否命題時，它們的真假性沒有關系.  

(對應學生用書第5頁)

 

 

 

 

 把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題．

(1)全等三角形的對應邊相等；

(2)當x＝2時，x²－3x＋2＝0.

【思路探究】 (1)原命題的條件與結論分別是什么？

(2)把原命題的條件與結論作怎樣的變化就能寫出它的逆命題、否命題和逆否命題？

【自主解答】 (1)原命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形三邊對應相等．

逆命題：若兩個三角形三邊對應相等，則兩個三角形全等．

否命題：若兩個三角形不全等，則兩個三角形三邊對應不相等．

逆否命題：若兩個三角形三邊對應不相等，則這兩個三角形不全等．

(2)原命題：若x＝2，則x²－3x＋2＝0，

逆命題：若x²－3x＋2＝0，則x＝2，

否命題：若x≠2，則x²－3x＋2≠0，

逆否命題：若x²－3x＋2≠0，則x≠2.

 

1．給出一個命題，寫出該命題的其他三種命題時，首先考慮弄清所給命題的條件與結論，若給出的命題不是“若p，則q”的形式，應改寫成“若p，則q”的形式．

2．把原命題的結論作為條件，條件作為結論就得到逆命題；否定條件作為條件，否定結論作為結論便得到否命題；否命題的逆命題就是原命題的逆否命題．

分別寫出下列命題的逆命題 、否命題和逆否命題．

(1)負數(shù)的平方是正數(shù)；

(2)若a＞b，則ac²＞bc².

【解】 (1)原命題可以改寫成：若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)；

逆命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)；

否命題：若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)；

逆否命題：若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)．

(2)逆命題：若ac²＞bc²，則a＞b；

否命題：若a≤b，則ac²≤bc²；

逆否命題：若ac²≤bc²，則a≤b.

 

 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，然后判斷真假．

(1)菱形的對角線互相垂直；

(2)等高的兩個三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分線平分弦所對的?。?

【思路探究】 eq \x(確定條件與結論)→eq \x(寫出三種命題)→eq \x(判斷真假)

【自主解答】 (1)逆命題：若一個四邊形的對角線互相垂直，則它是菱形，是假命題．

否命題：若一個四邊形不是菱形，則它的對角線不互相垂直，是假命題．

逆否命題：若一個四邊形的對角線不互相垂直，則這個四邊形不是菱形，是真命題．

(2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等高，是真命題．

否命題：若兩個三角形不等高，則這兩個三角形不全等，是真命題．

逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等高，是假命題．

(3)逆命題：若一條直線平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線，是假命題．

否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不平分弦所對的弧，是假命題．

逆否命題：若一條直線不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線，是真命題．

 

1．本例題目中命題的條件和結論不明顯，為了不出錯誤，可以先改寫成“若p，則q”的形式，再寫另外三種命題，進而判斷真假．

2．要判定四種命題的真假，首先，要正確理解四種命題間的相互關系；其次，正確利用相關知識進行判斷推理．若由“p經邏輯推理得出q”，則命題“若p，則q”為真；確定“若p，則q”為假時，則只需舉一個反例說明．

3．互為逆否命題等價．當一個命題的真假不易判斷時，可通過判定其逆否命題的真假來判斷．

下列命題中正確的是(  )

①“若x²＋y²≠0，則x，y不全為零”的否命題；

②“正三角形都相似”的逆命題；

③“若m＞0，則x²＋x－m＝0有實根”的逆否命題．

A．①②③                                                                    B．①③

C．②③                                                                                   D．①

【解析】 ①原命題的否命題為“若x²＋y²＝0，則x，y全為零”．真命題．

②原命題的逆命題為“若兩個三角形相似，則這兩個三角形是正三角形．”假命題．

③原命題的逆否命題為“若x²＋x－m＝0無實根，則m≤0”．

∵方程x²＋x－m＝0無實根，

∴判別式Δ＝1＋4m＜0，m＜－eq \f(1,4).

故m≤0，為真命題．

故正確的命題是①，③選B.

【答案】 B

 若a²＋b²＝c²，求證：a，b，c不可能都是奇數(shù)．

【思路探究】 (1)a，b，c不可能都是奇數(shù)包含幾種情況？

(2)它的反面是什么？能否考慮證它的逆否命題？

【自主解答】 若a，b，c都是奇數(shù)，則a²，b²，c²都是奇數(shù)，所以a²＋b²為偶數(shù)，而c²為奇數(shù)，即a²＋b²≠c².即原命題的逆否命題為真命題，故原命題為真，所以若a²＋b²＝c²，則a、b、c不可能都是奇數(shù)．

 

1．因為“a、b、c不可能都是奇數(shù)”這一結論包含多種情況，而其否定只有一種情況，即“a、b、c都是奇數(shù)，”故應選擇證明它的逆否命題為真命題，以使問題簡單化．

2．當判斷一個命題的真假比較困難，或者在判斷真假時涉及到分類討論時，通常轉化為判斷它的逆否命題的真假，因為互為逆否命題的真假是等價的，也就是我們講的“正難則反”的一種策略．

3．四種命題中，原命題與其逆否命題是等價的，有相同的真假性，原命題的否命題與其逆命題也是互為逆否命題，解題時不要忽視．

“已知a，x為實數(shù)，若關于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0的解集是空集，則a＜2”，判斷其逆否命題的真假．

【解】 ∵a，x∈R，且x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0的解集是空集．

∴Δ＝(2a＋1)²－4(a²＋2)＜0，

則4a－7＜0，解得a＜eq \f(7,4).

因此a＜2，原命題是真命題．

又互為逆否命題的命題等價，故逆否命題是真命題.

(對應學生用書第6頁)

 

 

 

因否定錯誤致誤

 寫出命題“若x²＋y²＝0，則x，y全為零”的逆命題、否命題，并判斷它們的真假．

【錯解】 逆命題：若x，y全為零，則x²＋y²＝0，是真命題；

否命題：若x²＋y²≠0，則x，y全不為零，是假命題．

【錯因分析】 本題中的錯解主要是對原命題中結論的否定錯誤．對“x，y全為零”的否定，應為“x，y不全為零”，而不是“x，y全不為零”．

【防范措施】 要寫出一個命題的否命題，需要既否定條件，又否定結論，否定時一定要注意一些詞語，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．

【正解】 逆命題：若x，y全為零，則x²＋y²＝0，是真命題；否命題：若x²＋y²≠0，則x，y不全為零，是真命題．

 

 

 

1．寫出四種命題的方法：

(1)交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題；

(2)同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題．

2．四種命題的真假關系：

若原命題為真，它的逆命題、否命題不一定為真，它的逆否命題一定為真；互為逆否命題的兩個命題的真假性相同．因此，若一個命題的真假不易判斷時，我們可借助它的逆否命題進行判斷.

1．(2013·福州高二檢測)已知a，b∈R，命題“若a＋b＝1，則a²＋b²≥eq \f(1,2)”的否命題是(  )

A．若a²＋b²＜eq \f(1,2)，則a＋b≠1

B．若a＋b＝1，則a²＋b²＜eq \f(1,2)

C．若a＋b≠1，則a²＋b²＜eq \f(1,2)

D．若a²＋b²≥eq \f(1,2)，則a＋b＝1

【解析】 “a＋b＝1”，“a²＋b²≥eq \f(1,2)”的否定分別是“a＋b≠1”，“a²＋b²＜eq \f(1,2)”，故否命題為：“若a＋b≠1，則a²＋b²＜eq \f(1,2)”．

【答案】 C

2．命題“兩條對角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對角線相等的四邊形”的(  )

A．逆命題                                                                    B．否命題

C．逆否命題                                                                            D．無關命題

【解析】 從兩種命題的形式來看是條件與結論換位，因此為逆命題．

【答案】 A

3．命題“當x＝2時，x²＋x－6＝0”的逆否命題是____．

【解析】 原命題結論的否定作條件，條件的否定作結論，寫出逆否命題即可．

【答案】 當x²＋x－6≠0時，x≠2.

4．寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷命題的真假．

(1)若mn＜0，則方程mx²－x＋n＝0有實數(shù)根；

(2)若ab＝0，則a＝0或b＝0.

【解】 (1)逆命題：若方程mx²－x＋n＝0有實數(shù)根，則mn＜0.假命題；

否命題：若mn≥0，則方程mx²－x＋n＝0沒有實數(shù)根．假命題；

逆否命題：若方程mx²－x＋n＝0沒有實數(shù)根，則mn≥0.真命題．

(2)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0.真命題；

否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0.真命題；

逆否命題：若a≠0且b≠0，則ab≠0.真命題．

一、選擇題

1．命題“若綈p，則q”是真命題，則下列命題一定是真命題的是(  )

A．若p，則綈q    B．若q，則綈p

C．若綈q，則p                                                                       D．若綈q，則綈p

【解析】 若“綈p，則q”的逆否命題是“若綈q，則p”，又互為逆否命題真假性相同．

∴“若綈q，則p”一定是真命題．

【答案】 C

2．若命題p的否命題為q，命題p的逆否命題為r，則q與r的關系是(  )

A．互逆命題                                                                            B．互否命題

C．互為逆否命題                                                                     D．以上都不正確

【解析】 設p為“若A，則B”，那么q為“若綈A，則綈B”，r為“若綈B，則綈A”，故q與r為互逆命題．

【答案】 A

3．(2013·臺州高二檢測)已知命題p：若a＞0，則方程ax²＋2x＝0有解，則其原命題、否命題、逆命題及逆否命題中真命題的個數(shù)為(  )

A．3    B．2    C．1    D．0

【解析】 易知原命題和逆否命題都是真命題，否命題和逆命題都是假命題．故選B.

【答案】 B

4．(2013·大慶高二檢測)下列判斷中不正確的是(  )

A．命題“若A∩B＝B，則A∪B＝A”的逆否命題為真命題

B．“矩形的兩條對角線相等”的逆否命題為真命題

C．“已知a，b，m∈R，若am²<bm²，則a＜b”的逆命題是真命題

D．“若x∈N^*，則(x－1)²＞0”是假命題

【解析】 若A∩B＝B，則有B?A，從而有A∪B＝A，

∴A正確；

B中的逆否命題：“若一個四邊形兩條對角線不相等，則它不是矩形”為真命題∴B正確．

                                                                                                  C中的逆命題為：“已知a，b，m∈R，若a＜b，則am²＜bm²為假命題，故C不正確．

D中x＝1時，(x－1)²＝0顯然是假命題．故D正確．

【答案】 C

5．下列命題中，不是真命題的為(  )

A．“若b²－4ac≥0，則關于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)有實根”的逆否命題

B．“四邊相等的四邊形是正方形”的逆命題

C．“若x²＝9，則x＝3”的否命題

D．“對頂角相等”的逆命題

【解析】 A中命題為真命題，其逆否命題也為真命題；B中命題的逆命題為“正方形的四邊相等”，為真命題；C中命題的否命題為“若x²≠9，則x≠3”為真命題；D中命題的逆命題為“相等的角為對頂角”是假命題．

【答案】 D

二、填空題

6．命題“若A∪B＝B，則A?B”的否命題是________．

【答案】 若A∪B≠B，則A?B.

7．已知命題“若m－1＜x＜m＋1，則1＜x＜2”的逆命題為真命題，則m的取值范圍是________．

【解析】 由已知得，若1＜x＜2成立，則m－1＜x＜m＋1也成立．

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－1≤1,m＋1≥2))，∴1≤m≤2.

【答案】 [1,2]

8．(2013·菏澤高二檢測)給定下列命題：

①若a＞0，則方程ax²＋2x＝0有解．

②“等腰三角形都相似”的逆命題；

③“若x－eq \f(3,2)是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題；

④“若a＞1且b＞1，則a＋b＞2”的否命題．

其中真命題的序號是________．

【解析】 顯然①為真，②為假．對于③中，原命題“若x－eq \f(3,2)是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”為假命題，∴逆否命題為假命題．

對于④中，“若a＞1且b＞1，則a＋b＞2”的否命題是“若a≤1或b≤1，則a＋b≤2”為假命題．

【答案】 ①

三、解答題

9．設原命題是“當c＞0時，若a＞b，則ac＞bc”，寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并分別判斷它們的真假．

【解】 原命題是真命題．

逆命題是“當c＞0時，若ac＞bc，則a＞b”，是真命題．

否命題是“當c＞0時，若a≤b，則ac≤bc”，是真命題．

逆否命題是“當c＞0時，若ac≤bc，則a≤b”，是真命題．

10．已知命題p：“若ac≥0，則二次方程ax²＋bx＋c＝0沒有實根”．

(1)寫出命題p的否命題；

(2)判斷命題p的否命題的真假，并證明你的結論．

【解】 (1)命題p的否命題為：“若ac＜0，則二次方程ax²＋bx＋c＝0有實根”．

(2)命題p的否命題是真命題，證明如下：∵ac＜0，

∴－ac＞0?Δ＝b²－4ac＞0?二次方程ax²＋bx＋c＝0有實根．

∴該命題是真命題．

11．已知奇函數(shù)f(x)是定義域為R的增函數(shù)，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求證：a＋b≥0.

【證明】 假設a＋b＜0，則a＜－b.

∵f(x)在R上是增函數(shù)．

∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)為奇函數(shù)．

∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．

即f(a)＋f(b)＜0.

∴原命題的逆否命題為真，故原命題為真.