3.1.1變化率問題

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1. 知識與技能：

（1） 通過現(xiàn)實情境，理解平均變化率；

（2） 初步掌握求平均變化率問題的方法。

2. 過程與方法：

通過現(xiàn)實情境，概括總結(jié)平均變化率及其表示方法。

3. 情感、態(tài)度與價值觀：

通過觀察、合作與交流，讓學(xué)生感受探索的樂趣，體會數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)。

【重點、難點】

重點：理解平均變化率。

難點：求氣球膨脹率和高臺跳水的平均變化率問題。

【學(xué)習(xí)方式】課前自主學(xué)習(xí)+課上小組合作學(xué)習(xí)

【教材梳理，預(yù)習(xí)指南】

一．問題引入、新課導(dǎo)學(xué)

1. 了解：微積分的創(chuàng)立背景（有興趣的同學(xué)可以查閱這兩位偉大的科學(xué)家，從而了解更多知識。

牛頓、萊布尼茲

2. 我們從三個問題認(rèn)識變化率問題

問題一:工資增長率

 下面是一家公司的工資發(fā)放情況:其中，工資的年薪s(單位：10元)與時間t(單位：年)成函數(shù)關(guān)系。用y表示每年的平均工資增長率.試分析公司的效益發(fā)展趨勢？

公司的工資發(fā)放情況

年 份	1	2	3	4	5
年 薪	2000	2100	2300	2600	3000

第1年到第2年的平均工資增長率

________________________________________________________

第2年到第3年的平均工資增長率

 

可見,此公司的平均工資增長率是越來越大,說明此公司效益越來越好.

問題二:氣球膨脹率

氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是：

用V 表示r得：_________________________________

★當(dāng)V從0增加到1L時，氣球的半徑增加了______________________________

 

氣球的平均膨脹率為______________________________

★當(dāng)V從1增加到2L時，氣球的半徑增加了___________________________________

 

氣球的平均膨脹率為___________________________________________

可以看出，隨著氣球的體積逐漸變大，氣球的平均膨脹率逐漸變小了。

思考1：當(dāng)氣球的空氣容量從增加到時，氣球的平均膨脹率是多少？

________________________________________________________________________

問題三:高空崩極

作崩極時，小男孩落下的高度h(單位：m)與跳后的時間 t (單位：s)存在函數(shù)關(guān)系

如果用小男孩在某段時間內(nèi)的平均速度 來描述其運動狀態(tài)，那么

（1）在0￡t￡1這段時間內(nèi)__________________________________________

 

（2）在1￡t￡2這段時間內(nèi)___________________________________________

思考2：可以看出，隨著跳后的時間的推移，小男孩下落的速度越來越大。

小男孩跳后的時間從變化到時，平均速度是多少?

 

3.平均變化率的定義：

思考3:想一想 上面的式子和我們以前學(xué)過的什么式子相似？

_________________________

平均變化率的幾何意義：

_________________________________________________________

4.求函數(shù)平均變化率的步驟：

 

 

例1．自由落體運動的運動方程為，計算t從3s到3.1s， 3.01s ， 3.001s 各段時間

內(nèi)的平均速度（位移的單位為m）。

解：設(shè)在[3，3.1]內(nèi)的平均速度為v1，則

△=______________________________

△=_______________________________________________________________

 

所以=________________________________________________

 

=_________________________________________________

 

=____________________________________________

 

二．練習(xí)與鞏固

1．某質(zhì)點沿曲線運動的方程為(x表示時間，f(x)表示位移)，則該質(zhì)點從x=1到x=2的平均速度為（   ）

A.-4     B.-8     C.6     D.-6

2．求函數(shù)y=+6在區(qū)間[2，2+△x] 內(nèi)的平均變化率。

 

 

3．函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率為：

_______________________________________________________________________________

【課后檢測】

1.在表達式中，的值不可能（   ）3.1.1變化率問題

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1. 知識與技能：

（1） 通過現(xiàn)實情境，理解平均變化率；

（2） 初步掌握求平均變化率問題的方法。

2. 過程與方法：

通過現(xiàn)實情境，概括總結(jié)平均變化率及其表示方法。

3. 情感、態(tài)度與價值觀：

通過觀察、合作與交流，讓學(xué)生感受探索的樂趣，體會數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)。

【重點、難點】

重點：理解平均變化率。

難點：求氣球膨脹率和高臺跳水的平均變化率問題。

【學(xué)習(xí)方式】課前自主學(xué)習(xí)+課上小組合作學(xué)習(xí)

【教材梳理，預(yù)習(xí)指南】

一．問題引入、新課導(dǎo)學(xué)

1. 了解：微積分的創(chuàng)立背景（有興趣的同學(xué)可以查閱這兩位偉大的科學(xué)家，從而了解更多知識。

牛頓、萊布尼茲

2. 我們從三個問題認(rèn)識變化率問題

問題一:工資增長率

 下面是一家公司的工資發(fā)放情況:其中，工資的年薪s(單位：10元)與時間t(單位：年)成函數(shù)關(guān)系。用y表示每年的平均工資增長率.試分析公司的效益發(fā)展趨勢？

公司的工資發(fā)放情況

年 份	1	2	3	4	5
年 薪	2000	2100	2300	2600	3000

第1年到第2年的平均工資增長率

________________________________________________________

第2年到第3年的平均工資增長率

 

可見,此公司的平均工資增長率是越來越大,說明此公司效益越來越好.

問題二:氣球膨脹率

氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是：

用V 表示r得：_________________________________

★當(dāng)V從0增加到1L時，氣球的半徑增加了______________________________

 

氣球的平均膨脹率為______________________________

★當(dāng)V從1增加到2L時，氣球的半徑增加了___________________________________

 

氣球的平均膨脹率為___________________________________________

可以看出，隨著氣球的體積逐漸變大，氣球的平均膨脹率逐漸變小了。

思考1：當(dāng)氣球的空氣容量從增加到時，氣球的平均膨脹率是多少？

________________________________________________________________________

問題三:高空崩極

作崩極時，小男孩落下的高度h(單位：m)與跳后的時間 t (單位：s)存在函數(shù)關(guān)系

如果用小男孩在某段時間內(nèi)的平均速度 來描述其運動狀態(tài)，那么

（1）在0￡t￡1這段時間內(nèi)__________________________________________

 

（2）在1￡t￡2這段時間內(nèi)___________________________________________

思考2：可以看出，隨著跳后的時間的推移，小男孩下落的速度越來越大。

小男孩跳后的時間從變化到時，平均速度是多少?

 

3.平均變化率的定義：

思考3:想一想 上面的式子和我們以前學(xué)過的什么式子相似？

_________________________

平均變化率的幾何意義：

_________________________________________________________

4.求函數(shù)平均變化率的步驟：

 

 

例1．自由落體運動的運動方程為，計算t從3s到3.1s， 3.01s ， 3.001s 各段時間

內(nèi)的平均速度（位移的單位為m）。

解：設(shè)在[3，3.1]內(nèi)的平均速度為v1，則

△=______________________________

△=_______________________________________________________________

 

所以=________________________________________________

 

=_________________________________________________

 

=____________________________________________

 

二．練習(xí)與鞏固

1．某質(zhì)點沿曲線運動的方程為(x表示時間，f(x)表示位移)，則該質(zhì)點從x=1到x=2的平均速度為（   ）

A.-4     B.-8     C.6     D.-6

2．求函數(shù)y=+6在區(qū)間[2，2+△x] 內(nèi)的平均變化率。

 

 

3．函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率為：

_______________________________________________________________________________

【課后檢測】

1.在表達式中，的值不可能（   ）