3.1.2導數(shù)的概念

【學習目標】

1.知識與技能：（1）通過現(xiàn)實情境，理解瞬時變化率；（2）了解導數(shù)的概念。

2.過程與方法：通過初步運用逼近原理理解平均變化率和瞬時變化率的概念，理解導數(shù)概念的形成；掌握從具體到抽象，從特殊到一般的思想方法；領悟極限思想和函數(shù)思想。

3.情感、態(tài)度與價值觀：初步了解逼近思想，體會探索的樂趣，感受數(shù)學的理性與嚴謹。

【重點、難點】

重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導數(shù)的概念。

難點：初步運用逼近思想理解導數(shù)的概念。

【學習方式】課前自主學習+課上小組合作學習

【教材梳理，預習指南】

一. 問題引入

1．平均變化率：                                        

2．我們學過平均速度，如何計算平均速度？                                             

平均速度不一定能反映物體在某一時刻的運動情況.

二. 新課導學

1．瞬時速度的定義

我們學過平均速度，如何計算平均速度？自由落體運動中，物體在不同時刻的速度是不一樣的。

問題1：如何刻畫物體某一時刻的運動情況呢？

（1）瞬時速度                                               

（2）理解：運動員的平均速度和自由落體的平均速度不一定能反映物體在某一時刻的瞬時速度。那么，如何求瞬時速度呢？

注：t=2附近：2+t可表示2之前，也可表示2之后，t是時間改變量，可以是正值也可以是負值。當t<0時，2+t在2_________（之前或之后）；當t>0時，2+t在2_______.

（3）完成下表：用“逼近思想”求瞬時速度

例題：自由落體運動的運動方程為，計算t在下表各段時間內(nèi)的平均速度（位移的單位為m）。

上表中，平均速度都趨近于一個確定的值，這個值是                    

問題2：當t趨近于0時，有什么變化趨勢？

即，當△t→0 時,平均速度的極限為，                            

2.導數(shù)定義：一般地，函數(shù)處的瞬時變化率是                             ，我們稱它為函數(shù)處的導數(shù)，記作：            ，即                                    

由導數(shù)的定義可以知道，高度h關于時間t的導數(shù)就是運動員的                氣球半徑r關于體積V的導數(shù)就是氣球的                .導數(shù)可以描述任何事物的                  。

3.探究求導數(shù)的步驟：

知識理解：

例1、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第x h時，原油的溫度(單位：℃)為f(x)=計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬進變化率，并說明它們的意義。

解：第2h和第6h時，原油溫度的 瞬進變化率就是和.

根據(jù)導數(shù)定義：

注：          說明在第2h附近，原油溫度大約以3 ℃/h的速度下降；

f '(6)=5， 說明在第6h附近，原油溫度， 大約以5 ℃/h的速度上升；

三．練習與鞏固

1．例題中，計算第3h和第5h原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。

2．以初速度為作豎直上拋運動的物體，t秒時的高度為,

求物體在時刻時的瞬時速度。

3.一木塊沿某一斜面自由滑下，測得下滑的水平距離s與時間t之間的函數(shù)關系為，則t=2時，此木塊在水平方向的瞬時速度為（   ）A.2    B.1     C.      D.

4.過曲線上兩點P（1,1）和Q（1+△x,1+△y）作曲線的割線，則當△x=0.1時割線的斜率     .

5.求函數(shù)之間的平均變化率，并計算當時變化率的值.

6.已知函數(shù)，下列說法錯誤的是（   ）

A、叫函數(shù)增量

B、叫函數(shù)在[]上的平均變化率

C、在點處的導數(shù)記為       D、在點處的導數(shù)記為

四.反思與小結(jié)