據傳,阿基里斯(Achilles)是古希臘神話中善于行走的神,他走的速度很快,即使是世界上跑得最快的人也沒法與他相比。
古希臘有一位哲學家叫芝諾(Zeno of Elea),他的學生們都對他推崇備至,認為他對天下之事無所不知,無所不曉。然而有一天,芝諾在給學生上課時卻提出了這樣一個斷言:阿基里斯是跑得很快的,可是,若讓他與烏龜一起賽跑,卻永遠不能追上一只慢慢爬行的烏龜。
聽了老師的講話,學生們個個感到驚奇和意外。阿基里斯與烏龜賽跑,那是輕而易舉就可追上烏龜的,這是眾所周知的事實,可知識淵博的老師怎么會說出這樣的奇談怪論呢?難道老師連起碼的常識都忘了嗎?學生們都不解地望著老師,一位學生終于大膽地提出了存于心中的疑問:“老師,您能告訴我們為什么阿基里斯追不上烏龜嗎?”
芝諾回答道:“這個問題我自己也一直沒能夠解決。”
學生們更加奇怪了,大家你看看我,我看看你,誰也不明白老師今天上課的用意何在,芝諾也是一副陷入沉思的樣子。
過了許久,芝諾抬起頭來,他終于答應把自己的研究了很長時間的問題講述給學生們。
為了方便起見,我們假設阿基里斯與烏龜賽跑時阿基里斯的速度是每小時行走10千米,而烏龜的速度是每小時爬1千米。比賽是在對雙方都很公平的條件下進行的,并且阿基里斯在烏龜后面10千米。比賽開始時,二者同時出發,烏龜在前面爬,阿基里斯在后面追。這樣的話,問題就出來了。
1小時以后,當阿基里斯走了10千米,到達烏龜原來出發的位置時,烏龜又爬到前面1千米的地方;
1/10小時以后,阿基里斯追了1千米,烏龜又向前爬了1/10千米;
1/100小時以后,阿基里斯追了1/10千米,烏龜又向前爬了1/100千米;
……
如此下去,阿基里斯與烏龜之間的距離雖然越來越接近,但阿基里斯卻永遠追不上烏龜。
芝諾講到這里,他的學生們卻個個都愣住了。他們心里都明白老師的說法是錯的,是與常理相悖的,但誰也無法指出他錯在哪里,就連芝諾自己不都說了還在研究嗎?
其實,這是芝諾在作詭辯,這也就是后人所稱的著名的“芝諾悖論”,它的提出促使了人們對無窮小量的研究,甚至引起了一場數學觀念上的革命。因為當時的數學家們認為,無限多個很小的量的和必定為無限大。而在芝諾悖論中,芝諾巧妙地鉆了空子,把有限長的線段分成了無限多個很小線段的和,把有限的時間可以完成的運動分成了無限多段很短的時間來完成。后來,人們終于弄清楚,無限多個很小的量的和未必一定是無限大,而可能是有限的。
在上面的芝諾悖論中,用我們現在的根限知識是很容易揭穿這一詭辯的。阿基里斯追烏龜時,走完第一段路程需要1小時,走完第二段路程需1/10小時,走完第三段路程需1/100小時,……,這樣,追上烏龜共需的時間為
1+1/10+1/100+…=1.11…=10/9 (小時)
而這是一個有限數,說明阿基里斯追上烏龜只需要10/9小時,這對阿基里斯來說自然是很快的了。需要說明的是:利用高中無窮遞縮等比數列的知識,還可以作嚴格的推論。